临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 得对一切x∈U(x)有f(x)>r>0;若imf(x)=A<0,则对任何负数A<r<0 存在U(x0),使得对一切x∈U°(x0)有f(x)<r<0 (4)保不等式性定理:设lmf(x)和img(x)都存在,且在某邻域U°(x6)内有 f(x)≤g(x),则lmf(x)≤limg(x)。 (5)迫敛性定理:设lmf(x)=limg(x)=A,且在某U°(x6”)内有 f(x)≤h(x)≤g(x),则lm(x)=A 2.函数极限的判定定理 (1)归结原则:设∫在U(x;6)内有定义,limf(x)存在分对任何含于U(x0;d”)且 以x为极限的数列{xn},极限lm∫(xn)都存在且相等 (2)设函数∫在x的某空心邻域U(x)内有定义,limf(x)=A台对任何以x为 极限的递减数列{xn}<U(x),有imf(x)=A (3)单调有界定理:设∫为定义有U(x0)上的单调有界函数,则右极限limf(x)存在 (4)柯西收敛准则:设函数∫在U°(x0;06)内有定义,imf(x)存在分→任给E>0, 存在正数6(<8”),使得对任何x,x"∈U(x0:)有f(x)-f(x)kE。 3.两个重要极限: SInx 1 =e或im(1+a)=e 三、基本要求 1.正确理解数列极限的E-N定义,并学会运用它验证给定的数列极限 2.掌握数列极限的性质,并能运用它证明或计算给定的数列极限 3.掌握数列极限存在的充要条件和充分条件,并能运用这些条件证明或判断数列极限 的存在性临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 得对一切 0 0 x∈U x( )有 f x( ) > > r 0 ；若 0 lim ( ) 0 x x f x A → = < ，则对任何负数 ， 存在 ，使得对一切 A r < < 0 0 0 U x( ) 0 0 x∈U (x )有 f x( ) < r < 0 ； ⑷ 保不等式性定理：设 0 lim ( ) x x f x → 和 都存在，且在某邻域 0 lim ( ) x x g x → 0 0 U x( ;δ ′) 内有 f x( ) ≤ g(x) ，则 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g → → ≤ x 。 ⑸迫敛 性定理 ： 设 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x → → = = A ，且在某 0 0 U x( ;δ ′) 内 有 f x( ) ≤ ≤ h( ) x g(x) ，则 0 lim ( ) x x h x A → = 。 2. 函数极限的判定定理 ⑴ 归结原则：设 f 在 0 0 U x( ;δ ′) 内有定义， 0 lim ( ) x x f x → 存在⇔ 对任何含于 0 0 U x( ;δ ′) 且 以 0 x 为极限的数列{xn} ，极限 lim ( ) n n f x →∞ 都存在且相等。 ⑵ 设函数 f 在 0 x 的某空心邻域U x + 0 ( 0 ) 内有定义， 0 lim ( ) x x f x A → + = ⇔ 对任何以 0 x 为 极限的递减数列{ } 0 0 ( ) n x U x ⊂ + ，有 lim ( ) n n f x A →∞ = . ⑶ 单调有界定理：设 f 为定义有U x + 0 ( 0 ) 上的单调有界函数，则右极限 0 lim ( ) x x f x → + 存在。 ⑷ 柯西收敛准则：设函数 f 在 0 0 U x( ;δ ′) 内有定义， 0 lim ( ) x x f x → 存在⇔ 任给ε > 0 ， 存在正数δ (< δ ′) ，使得对任何 0 0 x x ′ ′ , ′∈U (x ;δ ) 有| ( f x′) − f x( ′′) |< ε 。 3. 两个重要极限： ⑴ 0 sin lim 1 x x → x = ⑵ 1 lim 1 x x e →∞ x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ 或 ( ) 1 0 lim 1 α e α α → + = . 三、基本要求 1. 正确理解数列极限的ε − N 定义，并学会运用它验证给定的数列极限。 2. 掌握数列极限的性质，并能运用它证明或计算给定的数列极限。 3. 掌握数列极限存在的充要条件和充分条件，并能运用这些条件证明或判断数列极限 的存在性。 - 2 -