临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 熟掌重要极限+-,并运用它计算某些数列的极限 四、典型例题 x>( 例1.设f(x)= 试分别求f(0+0)和f(0-0),并讨论 的存在性 分析:函数是个分段函数,当x>0和x<0时表达式不相同,在求左极限和右极限时 要使用相应的表达式,即:f(0+0)= lim xsin-,f(0-0)=lim1 解:由于x>0时,有0<xsin-<x,故由极限的迫敛性知 x f(0+0)= lim xsin=0:另一方面,f(0-0)=1m1=1,于是f0+0)≠f(0-0), 故f(x)在x=0的极限不存在。 例2求下列极限:() lim sin(sin(sinx)(2)Ⅷx+n (n为整数) 解: (1)lim sin(sin(sin x)) sin(sin(sin x)) sin(sin x)sin x =1·1·1=1 x→0Sin(Sinx) sInx x+ n (2)im =lim 1+ =lim 1+ x-n 2 3x2+3x-912 例3验证lim x→+32x2-7x+3 312 证明:由x≠3,临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 4. 熟练掌握重要极限 e n n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ 1 lim 1 ，并能运用它计算某些数列的极限。 四、典型例题 例 1. 设 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = 1 1 sin ( ) x x f x ，试分别求 0 0 < > x x f (0 + 0) 和 ，并讨论 的存在性。 f (0 − 0) 分析：函数是个分段函数，当 x > 0 和 x < 0 时表达式不相同，在求左极限和右极限时 要使用相应的表达式，即： x f x x 1 (0 0) lim sin 0 → + + = ， (0 0) lim1 0 → − − = x f 。 解 ：由于 x > 0 时 ， 有 x x < x < 1 0 sin ， 故 由极限 的迫敛 性 知 0 1 (0 0) lim sin 0 + = = → + x f x x ；另一方面， (0 0) lim1 1 0 − = = → − x f ，于是 ， 故 在 的极限不存在。 f (0 + 0) ≠ f (0 − 0) f (x) x = 0 例 2. 求下列极限：⑴ x x x sin(sin(sin )) lim →0 ⑵ x x x n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ lim （ n 为整数） 解：⑴ 1 1 1 1 sin sin sin(sin ) sin(sin ) sin(sin(sin )) lim sin(sin(sin )) lim 0 0 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = → → x x x x x x x x x x ⑵ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⋅ − →∞ →∞ →∞ →∞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + x n x n n x n x x x x x x n x n x n n x n x n 2 lim 2 2 1 lim 1 2 lim lim 1 n n e e 2 1 2 = = ⋅ 例 3 验证 2 7 3 5 2 →3 − + 3 3 9 12 lim 3 2 = − + − x x x x x x 证明： 由 x ≠ 3， ( )( ) ( )( ) 5 12 2 1 3 5 12 2 1 3 3 3 5 12 2 7 3 3 3 9 2 2 2 3 2 − − + − = − − + − − = − + − + − x x x x x x x x x x x - 3 -