§4.2随机变量序列的两种收敛性 在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了 (n→0) 即随机变量序列初}依概率收敛于常数a这么一个概念。我们自然可以把所讨论的问题推广 到a不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。 定义4.2设有一列随机变量，2，，…，刀n,如果对任意的￡>0，都有 lim P(-n<s) (4.6) 则称随机变量序列{们}依概率收效于”，并记作 limn.p→n (n→c0) 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。我们已经知道 分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知门。”→刀(n→0)，那么它们相 应的分布函数F,(x)与F(x)之间的关系会有什么样的关系呢？一个猜测是，对所有的X, 都有E,(x)→F(x)(n→0)成立，这个猜测对不对呢？让我们看一个很简单的例子。 例4.2设7,7都是服从退化分布的随机变量，且P(刀=0)=l, 于是对任给的石0，当心时有 P(nn-≥E)=P(nn≥8)=-0 所以 7n卫→7(n→o) 成立。又设刀，7的分布函数分别为F(x),F(x),则 1,x>0 F(x)-2,x50 §4.2 随机变量序列的两种收敛性 在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了  n = = n i i n 1 1  ⎯⎯p→ a （n → ） 即随机变量序列 n  依概率收敛于常数 a 这么一个概念。我们自然可以把所讨论的问题推广 到 a 不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。 定义 4.2 设有一列随机变量 1，2 ，3，…，  n ，如果对任意的  >0,都有 lim n→ P ( −   ) n （4.6） 则称随机变量序列 n  依概率收敛于  ，并记作 lim n→ r ⎯⎯p→  或  n ⎯⎯p→  （n → ） 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。我们已经知道 分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知  n ⎯⎯p→  （n → ），那么它们相 应的分布函数 n F （x）与 F（x）之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的 x， 都有 n F （x） → F（x）（n → ）成立，这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。 例 4.2 设  ， n 都是服从退化分布的随机变量，且 P（  =0）=1, P（  n =- n 1 ）=1，n=1,2,… 于是对任给的  >0，当 n>  1 时有 P（ n − ≥  ）=P（ n ≥  ）=0 所以  n ⎯⎯p→  （n → ） 成立。又设  ， n 的分布函数分别为 F（x）， n F （x），则 F（x）=      2, 0 1, 0 x x