F(x)= n 显然，当x≠0时， lim F.(x)=F (x) 成立，当x0时， lim F.(0)=lim 1=10=F (0) 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列 不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。但是，如果仔细观察一下这个例 子，就会发现收敛关系不成立的点：x0,恰好是F(x)的不连续点。如果我们撒开这些不 连续点而只考虑F(x)的连续点。那么在上述例子中，当门mP→门(n→0)时，它们 的分布函数之间就有 lim F.(x)=F (x) (x是F(x)的连续点)成立。现在为把讨论引向一般的情形，有必要引入下述定义。 定义4.3设F(x),E(x),E(x),,F(x)是一列分布函数，如果对F(x) 的每个连续点都x,有 lim F.(x)=F (x) 成立，则称分布函数列{F(x)}弱收敛于分布函数F(x),并记作 F (x)F() 4.7) 这里称呼“弱收敛”是自然的，因为它比在每一点上都收敛的要求在确是“弱”了些。 如果随机变量序列1（刀=1,2,3，…)的分布函数5(x)弱收敛于随机变量刀的分 布函数F(x),也称门按分布收敛于门，并记作 n。1→g(n→o) 在例42中我们已经看到从刀，”)q(→D)并不能推出相应的分布函数列(x)在 每一点上收敛于F(x,而只是有(x)”F(x)成立，现在自然要同，这个结果 在一般情形下是否成立？也就是说，是香在任何情形下，都能从。P→推出相应的分 布函数列(x)”F(x)?回答是肯定的，这就是下面的定理。 定理4.4若随机变量序列，2，%，，刀。依概率收敛于随机变量刀，即F（x）=       −  − n x n x 1 2, 1 1, 显然,当 x  0 时， lim n→ n F （x）= F（x） 成立，当 x=0 时， lim n→ n F （0）= lim n→ 1=1  0= F（0） 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列 不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。但是，如果仔细观察一下这个例 子，就会发现收敛关系不成立的点：x=0，恰好是 F（x）的不连续点。如果我们撇开这些不 连续点而只考虑 F（x）的连续点。那么在上述例子中，当  n ⎯⎯p→  （n → ）时，它们 的分布函数之间就有 lim n→ n F （x）= F（x） （x 是 F（x）的连续点）成立。现在为把讨论引向一般的情形，有必要引入下述定义。 定义 4.3 设 F（x）， F1 （x）， 2 F （x），…， n F （x）是一列分布函数，如果对 F（x） 的每个连续点都 x，有 lim n→ n F （x）= F（x） 成立，则称分布函数列 Fn (x) 弱收敛于分布函数 F（x），并记作 n F （x） ⎯⎯→w F（x） （4.7） 这里称呼“弱收敛”是自然的，因为它比在每一点上都收敛的要求在确是“弱”了些。 如果随机变量序列  n （  =1，2，3，…）的分布函数 n F （x）弱收敛于随机变量  的分 布函数 F（x），也称  n 按分布收敛于  ，并记作  n ⎯⎯→L q （n → ） 在例 4.2 中我们已经看到从  n ⎯⎯→p q （n → ）并不能推出相应的分布函数列 n F （x）在 每一点上收敛于 F（x），而只是有 n F （x） ⎯⎯→w F（x）成立，现在自然要问，这个结果 在一般情形下是否成立？也就是说，是否在任何情形下，都能从  n ⎯⎯p→  推出相应的分 布函数列 n F （x） ⎯⎯→w F（x）？回答是肯定的，这就是下面的定理。 定理 4.4 若随机变量序列 1，2 ，3，…，  n 依概率收敛于随机变量  ，即