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R()+-[(dt=U() U0(t) ()d→i()=Ca( 消去中间变量i(t),得: RC duo(t) D)=U1() dt 在初始条件为零的情况下,进行拉氏变换得: U0() U (t RCs+1 可见,输入输出象函数之比只与本电路结构参数R、C有关。它可用来表征电路本身的 特性,称为传递函数。由上述电路得到的这一概念可推广到一般情况 第4讲 2.3控制系统的复域数学模型 2.3.1传递函数 是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型,在给定外作用和初使条件下,解 微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化是分析较麻烦 用拉氏变化法求结微分方程时,可以得到控制系统在复数域的数学模型一传递函数。 定义:线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输 入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述: c()+…+anC(1)+anc(1) +()+b()+…+bm元(O)+bnr( 式中c(1)是系统输出量,x()是系统输入量,a(=123…m)和b(=12…,m)是 与系统结构和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零,即零初始条件,则对上式中各项分别 求拉氏变换,并令c(s)=L[c(t)],R(s)=[r(t)],可得s的代数方程为 [ans"+a1s"+…+an-s+an]C(s)=[b。s"+b1s"1+…+bns+an]R(s) 于是,由定义得系统传递函数为: C(s) bos"+6,s-+.+bm-S+bm M ()aoS"+a,"+.+a-S+an N(s) 式中M()=b”+的S“+…+bms+bm N(s)=a0s"+a1s"+ X(s U(s) 例5求例2机械系统与电路系统的传递函数x,(S)和U(S) (B1+B2)X2+(K1+K2)X=B1X+K1X (B1+B2)sX2(s)+(K1+k2)X(s)=B1sX,(s)+K1X(s)23  + ( ) = ( ) 1 ( ) i t dt U t C Ri t i  =  = dt dU t i t dt i t C C U t o ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 0 消去中间变量i(t),得: ( ) ( ) ( ) 0 0 U t U t dt dU t RC + = i 在初始条件为零的情况下,进行拉氏变换得: 1 1 ( ) ( ) 0 + = U t RCS U t i 可见,输入输出象函数之比只与本电路结构参数R、C有关。它可用来表征电路本身的 特性,称为传递函数。由上述电路得到的这一概念可推广到一般情况。 第4讲 2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数 是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型,在给定外作用和初使条件下,解 微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化是分析较麻烦。 用拉氏变化法求结微分方程时,可以得到控制系统在复数域的数学模型-传递函数。 定义:线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输 入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 r t b r t dt d r t b dt d r t b dt d b c t a c t dt d c t a dt d c t a dt d a m m m m m m n n n n n n = + +  + + + +  + + − − − − − − 式中c(t)是系统输出量,r(t)是系统输入量, a (i 1,2,3, ,n) i =  和 b ( j 1,2, ,m) j =  是 与系统结构和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零,即零初始条件,则对上式中各项分别 求拉氏变换,并令c(s)=L[c(t)],R(s)=L[r(t)],可得s的代数方程为: [ ] ( ) [ ] ( ) 1 1 1 0 1 1 0 1 a s a s a s a C s b s b s b s a R s m m m m n n n n + +  + + = + +  + − + − − − 于是,由定义得系统传递函数为: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 N s M s a s a s a s a b s b s b s b R s C s G s n n n n m m m m = + +  + + + +  + + = = − − − − 式中 m m m m M s = b s + b s +  + b − s + b − 1 1 0 1 ( ) n n n n N s = a s + a s +  + a − s + a − 1 1 0 1 ( ) 例5 求例2机械系统与电路系统的传递函数 ( ) ( ) X s X s r c 和 ( ) ( ) U s U s r c B1 B2 Xc K1 K2 Xc B1 Xc K1Xr ( + ) + ( + ) = + • • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 B B sX s K K X s B sX s K X s + c + + c = r + r
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