西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIANUNIVERSITY例5设当x→0 时，(1-cosx)In(1+x)是比 xsinx"高阶的无穷小；而xsinx"是比e-1高阶的无穷小，求正整数n1x2(1 - cos x)ln(1 + x220=lim解3-limimxx.xnxsinx"x->0x-02 x→0故3-n>0，即n<3xsinx"X.x0= lim : lim xn-1-limerx-→0-1x-→0x->0故n-1>0,即n>1.从而 n=2.无穷小的比较 例5 设当 x → 0 时， 2 (1 cos )ln(1 ) − + x x 是比 x x sin n 高阶 的无穷小；而 sin n x x 是比 高阶的无穷小,求正整数 2 e 1 x − n. 解 2 0 (1 cos )ln(1 ) 0 lim sin n x x x → x x − + = 故 3 0, −  n 即 n  3 2 0 sin 0 lim e 1 n x x x x → = − 故 n − 1 0, 即 n 1. 从而 n = 2. 2 2 0 1 2 lim n x x x → x x  =  3 0 1 lim 2 n x x − → = 2 0 lim n x x x → x  = 1 0 lim n x x − → =