西安毛子科技大学数学与统计学院School of mathematies and statistiesXIDIAN UNIVERSITY省等数学第七节无穷小的比较
第七节 无穷小的比较
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIAN UNIVERSITY一.基本概念1.问题的提出两个无穷小的和、差、积均是无穷小；思考两个无穷小的商如何呢？
无穷小的比较 一. 基本概念 两个无穷小的和、差、积均是无穷小； 1.问题的提出 思考 两个无穷小的商如何呢？
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIAN UNIVERSITY例如当x→0时，2x,x2,sinx都是无穷小x2=0,x2→0比 2x→0 快limX-0 2x1sinxlimsinx→0与2x→0快慢相仿2'2xx->02xlim2x→0比x2→0 慢8,x-0无穷小的商的极限反映了不同的无穷小趋于0的速度不一样
无穷小的比较 例如 无穷小的商的极限反映了不同的无穷小趋于0的速度不一样 当 x → 0 时， 2 0 lim x 2 x → x = 0, 都是无穷小 2 2 , , sin x x x 0 sin lim x 2 x → x 1 , 2 = 2 0 2 lim x x → x = , 2 x → 0 比 2 0 x → 快 sin 0 x → 与 2 0 x → 快慢相仿 2 0 x → 比 2 x → 0 慢
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIANUNIVERSITY2.定义 设α,β是自变量同一变化过程中的无穷小，且α≠00，称β是比α 高阶的无穷小,记作β=o(α);80，称β是比α低阶的无穷小；β若limac(+O)，称β与α是同阶无穷小;1，称β与α是等价无穷小，记作α～ββ●若lim≠0（k>O)，称 β是关于α的k阶无穷小Qk
无穷小的比较 称 是比 高阶的无穷小, 称 是比 低阶的无穷小; 2.定义 称 与 是同阶无穷小; 称 是关于 的 k 阶无穷小. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小，且 0. ⚫若 lim = 0, , c ( 0), 1, 称 与 是等价无穷小， ⚫若 lim 0 ( 0), k c k = 记作 = o( ); 记作 ~
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIAN UNIVERSITS例如lim所以当x→0时，x2=o(sin x)0.x-0 sin x111lim当n→ 时，-是比一低阶的无穷小。8n-> n /nn- 4lim4.当x→2时，x2-4与x-2是同阶无穷小-2x-→2xsinxlim:1.当x→0时，sin x~x.x-0x
无穷小的比较 例如 2 0 lim x sin x → x = 0, 当 x → 0 时， 2 x o x = (sin ). 2 2 4 lim x 2 x → x − − = 4, 当 n → 时， 是比 低阶的无穷小. 1 n 2 1 n 0 sin lim 1, x x → x = 当 x → 0 时， sin ~ . x x 2 1 1 lim , n→ n n = 当 x → 2 时， 与 是同阶无穷小. 2 x − 4 x − 2 所以
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIANUNIVERSITY11-cosx当x→0时，1-cosx是x的二阶无穷小，因为 limx?2x-→>01当然，x→0时，1-cosx~2arc sin xx→o时，arcsinx~x.lim1x-→>0xtan xx→0时,tan x~x.lim1x→0xarctanxlim1,x→0时，arctanx~x.x→0x
无穷小的比较 0 arcsin lim 1, x x → x = x → 0 时， arcsin ~ . x x 2 0 1 cos 1 lim , x 2 x → x − = 当 x → 0 时， 1 cos − x 是 x 的二阶无穷小, 0 tan lim 1, x x → x = x → 0 时， tan ~ . x x x → 0 时， 1 2 1 cos ~ . 2 − x x 因为 当然, 0 arctan lim 1, x x → x = x → 0 时， arctan ~ . x x
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIAN UNIVERSITY二、常用的几个等价无穷小当x→0时,sinx~ x,arcsin x ～ x,tan x ~ x,arctanx ~ x,n/1+x-11-cosx-x, In(1+x)~x, e*-1~x,2h(1+x)~-1 ~αx(αR,α±0)a-1~xlna (a>0,a±1)
无穷小的比较 二、常用的几个等价无穷小 当 x → 0 时， sin , x x tan , x x arcsin , x x arctan , x x ln(1 ) , + x x e 1 , x − x 1 ln ( 0, 1 ), x a x a a a − 1 2 1 cos , 2 − x x 1 1 1 , n x x n + − (1 ) 1 ~ ( , 0) x x R + −
西要毛子科技大学无穷小的比较XIDIAN UNIVERSITY证当x→0时，/1+x-1～Xnr/1+x -1t-1令 t=/1+xlimlim1xx→0[-→11(t"-1)a" -b" = (a-b)(a"-l+ a"-2b...+ b"-l)←-1= nlimnt→1(f-1)(tn-I + tn-2 +...+1)所以，当x→0时，/1+x-1～Xn
无穷小的比较 当 x → 0 时， 1 1 1 . n x x n 证 + − 0 1 1 1 lim n x n x → x + − 所以，当 x → 0 时， 1 1 1 . n x x n + − n n a b − = 1 2 1 ( )( ) n n n a b a a b b − − − − + + + 1 lim t n → = 1 2 ( 1)( 1) n n t t t − − − + + + t −1 1 n 1 n = = 1 1 1 lim ( 1) n t n t → t− − 令 1 n t x = +
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIAN UNIVERSITY推广形式 在自变量x的某种变化过程中，f(x)→0且 f(x)≠0arcsin f(x) ~ f(x),sin f(x) ~ f(x),arctan f(x) ~ f(x),tan f(x)~ f(x), 1-cos[f(x)~[f(x), /1+ f(x)-1~=f(x),nal()_1~ f(x)lna (a>0,a±1),In[1+ f(x)]~ f(x),ef()-1~ f(x),[1+ f(x)}~-1~αf(x) (αeR,α±0)例如x→2 时, x-2 →0, 则 ln(x-1)=ln[1+(x-2)] ~ x-2
无穷小的比较 推广形式 在自变量 x 的某种变化过程中， sin f x f x ( ) ( ), tan f x f x ( ) ( ), ln[1 ] + f x f x ( ) ( ), ( ) e 1 ( ), f x − f x 1 2 1 cos[ ] [ ] , 2 − f x f x ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ), n f x n + − x f 例如 x → 2 时， x − →2 0, 则 ln( 1) x − =ln[1 ] . + ( 2) x x − − 2 arcsin f x f x ( ) ( ), arctan f x f x ( ) ( ), ( ) 1 ln ( 0, 1 ( ) ), f x a a − f x a a [1 ] 1 ~ ( , 0) f x f x ( ) ( ) R . + − f x( ) → 0 且 f x( ) 0
西安毛子科技大学无穷小的比较XIDIANUNIVERSITY三、等价无穷小的性质定理1α~β β=α+o(α)B-α证 → 设α～β，则 lim1=(αa所以 β-α=o(α),即 β=α+o(α),←设β=α+o(α)，则 = lim α+o0(a) = lim(1+ 0(a)Blim一因此，α～β.ααα
无穷小的比较 三、 等价无穷小的性质 定理1 证 = + o( ) 设 , 则 lim lim 1 − = − 所以 − = o( ), 即 = + o( ). =−= 1 1 0 设 = + o( ), 则 ( ) lim lim o + = 因此， . ( ) lim(1 ) 1, o = + =