第九章欧氏空间S6对称矩阵的标准形S1定义与基本性质S2标准正交基S7向量到子空间的距离一最小二乘法S3同构S8酉空间介绍S4正交变换小结与习题85子空间
§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间
S 9.2标准正交基正交向量组一、二、标准正交基三、正交矩阵69.2标准正交基
§9.2 标准正交基 一、正交向量组 §9.2 标准正交基 二、标准正交基 三、正交矩阵
正交向量组定义：设V为欧氏空间，非零向量αj,αz,",αmV如果它们两两正交，则称之为正交向量组注:①若α≠0，则α是正交向量组②正交向量组必是线性无关向量组，69.2标准正交基
§9.2 标准正交基 设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 2 , , , , m V ① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 一、正交向量组 定义： 如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：
证：设非零向量αj,α,,,αmEV两两正交令kα+k,α,+...+kmαm=0, k,ER,则 (α,Zk;α,)=Zk;(α,α,)=k(αj,α,)=0-=由α;±0知 (α,α,)>0,.. k, =0, i=1,2,,m.故αi,α2,,αm线性无关S9.2标准正交基A-
§9.2 标准正交基 证：设非零向量 两两正交. 1 2 , , , m V 令 1 1 2 2 0, , m m i k k k k R + + + = 则 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m m i j j j i j i i i j j k k k = = = = = 由 i 0 知 ( , ) 0, i i 0, 1,2, , . i = = k i m 故 1 2 线性无关. , , , m
③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组例如：R3中 α,=(1,1,0)，αz=(1,0,1)线性无关。但αi，α2不是正交向量组：(α,α,)=1±0.①n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n.69.2标准正交基
§9.2 标准正交基 ④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n. ③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 1 2 ( , ) 1 0. = 1 2 例如： 中 = = (1,1,0), (1,0,1) 3 R 线性无关． 但 1 2 不是正交向量组.
二、标准正交基1.几何空间R3中的情况在直角坐标系下i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)是由单位向量构成的正交向量组，即(i,)) = (,k) = (k,i) = 0=1i,j,k 是 R’ 的一组基.89.2标准正交基区区
§9.2 标准正交基 1. 几何空间 R 3 中的情况 在直角坐标系下 i j k = = = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组，即 二、标准正交基 ( , ) ( , ) ( , ) 0, i j j k k i = = = i j k , , 是 的一组基. 3 R | | | | | | 1 i j k = = =
设 α=xi+yj+z,k, β=x,i+y,j+z,keR3①从 (α,i)=x, (α,j)=yr, (α,h)=zi得α=(α,i)i+(α,j)j+(α,)k② (α,β)= xix2 +yiy2 +zz2③[α=++Xix2 + yiy2 +z132④= arccosx?+y?+z/x+y?+z即在基i,j,k下，R'中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式69.2标准正交基区区
§9.2 标准正交基 设 3 1 1 1 2 2 2 = + + = + + x i y j z k x i y j z k R , ① 从 1 1 1 ( , ) , ( , ) , ( , ) i x j y k z = = = ② 1 2 1 2 1 2 ( , ) = + + x x y y z z ③ 2 2 2 1 1 1 | | = + + x y z 得 = + + ( , ) ( , ) ( , ) i i j j k k ④ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 , arccos x x y y z z x y z x y z + + = + + + + 即在基 i j k , , 下， R 3 中的与内积有关的度量性质有 简单的表达形式
2.7标准正交基的定义n维欧氏空间中，由n个向量构成的正交向量组称为正交基由单位向量构成的正交基称为标准正交基注:①由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基.89.2标准正交基
§9.2 标准正交基 n 维欧氏空间中，由 n 个向量构成的正交向量组 称为正交基； 2. 标准正交基的定义 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注： ① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基
n维欧氏空间V中的一组基,8n为标准正交基(608)-(8 18)i,j =1,2,.,n(1)n维欧氏空间V中的一组基i,8n为标准正交基R当且仅当其度量矩阵A=(s,6,))=En④n维欧氏空间V中标准正交基的作用：设8i,,8,为V的一组标准正交基，则69.2标准正交基V
§9.2 标准正交基 ② n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 ③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A E = = (( , ) . i j n ) 1 ( , ) , 1,2, , i j 0 i j i j n i j = = = ， (1) ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n 为V的一组标准正交基，则
(i) 设 α=xe+x&,+...+x,,eV由(1),(α,8,)=x,(2)有 α =(α,8)e +(α,8)82 +...+(α,8n)en(i) (a,βB)=+xy +.+y,-y,(3)i=1这里α=xe+x,e,+...+xnenβ= yiei + y2e, +...+ynen.(ii) lα = /x?+.+x?S9.2标准正交基?
§9.2 标准正交基 (i) 设 1 1 2 2 n n = + + + x x x V 由(1) ， ( , ) . i i = x (ii) 1 1 2 2 1 ( , ) n n n i i i x y x y x y x y = = + + + = (3) 这里 1 1 2 2 n n = + + + x x x ， 1 1 2 2 . n n = + + + y y y (iii) 2 2 1 | | n = + + x x 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 有 = + + + n n (2)