第六章线性空间S5线性子空间S1集合·映射S6子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标S8线性空间的同构s4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
s6.7子空间的直和直和的定义直和的判定三、多个子空间的直和86.7子空间的直和
§6.7 子空间的直和 §6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
引入设V,V,为线性空间V的两个子空间，由维数公式dim V + dim V, = dim(V + V2) + dim(V NV2)有两种情形：1) dim(V +V)0,即，VnV,必含非零向量86.7子空间的直和
§6.7 子空间的直和 引入 有两种情形： 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dim dim dim( ) dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + + 1 2 1 2 1) dim( ) dim dim V V V V + + 此时 dim( ) 0, V V 1 2 即， 必含非零向量. V V 1 2
2) dim(V + V) = dimV + dimV,此时 dim(VnV)= 0,n,不含非零向量，即nV={o)情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和86.7子空间的直和A
§6.7 子空间的直和 情形2）是子空间的和的一种特殊情况 直和 1 2 1 2 2) dim( ) dim dim V V V V + = + 此时 dim( ) 0, V V 1 2 = V V 1 2 不含非零向量，即 V V 1 2 = 0
一、直和的定义设V,V,为线性空间V的两个子空间，若和V+V中每个向量α的分解式a,eVi,α, evα=α+α2,是唯一的，和V+V,就称为直和，记作V④V注：①分解式α=α+α,唯一的，意即若有α=α+α=+β,αβVα,βV则 α, =βi,α, =β2.86.7子空间的直和A
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，若和 V V 1 2 + 1 2 1 1 2 = + , , V V 是唯一的，和 就称为直和，记作 1 2 V V . V V 1 2 + 注: 若有 , , , 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 = + = + , V V 则 1 1 2 2 = = , . ① 分解式 = +1 2 唯一的，意即 中每个向量 的分解式
②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立．例如，R3的子空间V = L(81,82), V, = L(82,83), V3 = L(83)这里，81 =(1,0,0), 82 =(0,1,0), 83 =(0,0,1)在和V+V,中，向量的分解式不唯一，如(2,2,2) = (2,3,0) +(0,-1,2) =(2,1,0) + (0,1,2)所以和V+V,不是直和S6.7子空间的直和K?
§6.7 子空间的直和 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间 1 1 2 2 2 3 3 3 V L V L V L = = = ( , ), ( , ), ( ) 1 2 3 这里， === (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 在和 V V 1 2 + 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) = + − = + 所以和 V V 1 2 + 不是直和
而在和V+V,中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的，(2,2,2) = (2,2,0) +(0,0,2)事实上，对 α=(a,,)V+V都只有唯一分解式：α=（a,az,0)+(0,0,a)故V+V,是直和86.7子空间的直和
§6.7 子空间的直和 而在和 V V 1 3 + 中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2) = + 事实上，对 1 2 3 1 3 = + ( , , ) , a a a V V 故 是直和. V V 1 2 + 1 2 3 都只有唯一分解式： = + ( , ,0) (0,0, ). a a a
二、直和的判定1、（定理8)和V+V,是直和的充要条件是零向量分解式唯一，即若 α, +α,=0,α,Vi,αV则必有 α = αz = 0.证：必要性．：V+V,是直和,：VαeV+V，α的分解式唯一若α +α,=0, αVi,α V,而0有分解式0=0+0,: αj =0, αz = 0.86.7子空间的直和区区
§6.7 子空间的直和 二、直和的判定 分解式唯一，即若 1 2 1 1 2 2 + = 0, , V V 1、(定理8) 和 V V 1 2 + 是直和的充要条件是零向量 则必有 1 2 = = 0. 1 2 1 1 2 2 若 + = 0, , V V 证：必要性. V V 1 2 + 是直和, 1 2 + V V , 的分解式唯一. 1 2 = = 0, 0. 而0有分解式 0= 0 0, +
充分性．设αeV+V2，它有两个分解式α=α, +α, = β, +β2, α,β, Vi, α2,β, V2于是(α-β)+(αz-β,)=0其中 α-β, V, α, -β, V由零向量分解成唯一，且0=0+0,有 α-β, = 0, αz -β, = 0.即 α=β，α,=β：α的分解式唯一.故 V+V2是直和.86.7子空间的直和区区
§6.7 子空间的直和 充分性. 故 是直和. V V 1 2 + , , , 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 = + = + , V V 设 + V V 1 2 ，它有两个分解式 有 1 1 2 2 − = − = 0, 0. 其中 1 1 1 2 2 2 − − V V , 于是 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 − + − = 由零向量分解成唯一，且 0= 0 0, + 即 1 1 2 2 = = , 的分解式唯一
2、和V+V,是直和台VnV,={0}证：“”若α, +α, =0, α, EV, α, EV2.则有 αi =-α, VnV, ={0):α=α,=0，即V+V是直和"二”任取αεVnV2，于是零向量可表成0=α+(-α), αeVi, -αV,.由于V+V,是直和，零向量分解式唯一，: α=-α=0. 故VnV,={0}86.7子空间的直和区区
§6.7 子空间的直和 2、和 V V 1 2 + 是直和 = V V 1 2 0. 则有 1 2 1 2 = − = V V 0 1 2 = = 0, 即 V V 1 2 + 是直和. “ ” 任取 1 2 V V , 证：“ ” 若 1 2 1 1 2 2 + = 0, , . V V 于是零向量可表成 1 2 0 ( ), , . = + − − V V 由于 V V 1 2 + 是直和，零向量分解式唯一， = − = 0. 故 V V 1 2 = 0 .