西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 矩阵 4.6 初等矩阵

§4.6初等矩阵 一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆

一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆

一、初等矩阵定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵三种初等变换对应着三种初等方阵1.对调两行或两列；2.以数k≠0乘某行或某列：3.以数k乘某行（列）加到另一行（列）上去。84.6初等矩阵

§4.6 初等矩阵 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的 矩阵，称为初等矩阵. 定义 一、初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵:       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

1、对调两行或两列对调E中第ij两行，即(r;台r,)，得初等方阵←第i行P(i,j) =←第i行(换法矩阵）4.6初等矩阵

§4.6 初等矩阵 对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj )，得初等方阵 1、对调两行或两列 1 1 0 1 1 ( , ) 1 1 0 1 1 P i j     =    第 i 行  第 j 行 (换法矩阵)

2、以数k≠0乘某行或某列以数k≠0乘单位矩阵的第期i行(r,×k),得初等矩阵P(i(k) =←第i行（倍法矩阵）84.6初等矩阵

§4.6 初等矩阵 2、以数 k  0 乘某行或某列 1 1 ( ( )) 1 1 P i k k       =            第 i 行 (倍法矩阵) 以数 乘单位矩阵的第期 i 行 得 初等矩阵 ( ), i k  0 r k 

3、以数k≠0乘某行(列)加到另一行列上去以k乘E的第行加到第i行上(r;+kr,)[或以k乘E的第i列加到第j列上(c;+kc,),←第行kP(i, j(k)) =←第行1（消法矩阵）4.6初等矩阵V

§4.6 初等矩阵 3、以数k  0乘某行(列)加到另一行(列)上 去 或以 乘 的第 列加到第 列上 ， 以 乘 的第 行加到第 行上 [ ( ) ( ) j i i j k E i j c kc k E j i r kr + + 1 1 ( , ( )) 1 1 k P i j k       =            第i行  第j行 (消法矩阵)

初等矩阵的性质1初等矩阵皆可逆，且其逆仍为初等矩阵P(i,j)- = P(i, j),P(i(k)-" = P(i(),KP(i,j(k)-1 = P(i,j(-k),84.6初等矩阵

§4.6 初等矩阵 1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵. 初等矩阵的性质 1 P i j P i j ( , ) ( , ), − = 1 1 P i k P i ( ( )) ( ( )), k − = 1 P i j k P i j k ( , ( )) ( , ( )). − = −

2引理对任一矩阵A作一初等行(列)变换相当于对A左(右)乘一个相应的初等矩阵P(i,j)A：对换A的i,i两行；AP(i,j)：对换A的i,j两列P(i(k))A：用非零数k乘A的第i列;AP(i(k)：用非零数k乘A的第i列.P(i,j(k))A：A的第j行乘以k加到第i行；AP(i,i(k))：A的第i列乘以k加到第j列。84.6初等矩阵区区

§4.6 初等矩阵 2 引理 对任一矩阵 A 作一初等行(列)变换相当于 对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵． P i j A ( , ) : 对换 A 的 i j , 两行； AP i j ( , ) : 对换 A 的 i j , 两列． P i k A ( ( )) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列； AP i k ( ( )) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列． P i j k A ( , ( )) ： A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ; AP i j k ( , ( )) ： A 的第 i 列乘以 k 加到第 j列．

等价矩阵二、会定义若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价的：（也称A与B相抵）注：矩阵的等价关系具有：1反射性、对称性、传递性等价矩阵的秩相等，84.6初等矩阵

§4.6 初等矩阵 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到， 则称A与B等价的．（也称A与B相抵） ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ② 等价矩阵的秩相等． 二、等价矩阵 定义 注：

矩阵等价的有关结论1）定理5任一s×n矩阵A都与一形式为的矩阵等价，称之为A的标准形，且主对角线上1的个数 r等于R(A)(1的个数可以是零)84.6初等矩阵A

§4.6 初等矩阵 1) 定理5 任一 s n  矩阵 A 都与一形式为 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Er                     矩阵等价的有关结论 的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零)

2)矩阵A、B等价<>存在初等矩阵P,P2,,P,,0,Q2,,Q，使B= PP,. .. P,AQQ,...Q.3)n级方阵A可逆<>A的标准形为单位矩阵E。<>A与单位矩阵E等价4)n 级方阵A可逆<>A能表成一些初等矩阵的积,即 A=Q0·.Q.定理684.6初等矩阵区区

§4.6 初等矩阵 2) 矩阵A、B等价 1 2 1 2 . B P P P AQ Q Q = s t 存在初等矩阵 1 2 1 2 , , , , , , , , P P P Q Q Q s t 使 3) n 级方阵A可逆 A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价. 1 2 . 即 A Q Q Q = t 4) n 级方阵A可逆 A能表成一些初等矩阵的积, 定理6