第二章行列式85行列式的计算S1引言S6行列式按行（列）展开82排列s3n级行列式7Cramer法则s8Laplace定理s4n级行列式的性质行列式乘法法则
§4 n 级行列式的性质 §8 Laplace定理 行列式乘法法则 §3 n 级行列式 §2 排列 §1 引言 §5 行列式的计算 §7 Cramer法则 §6 行列式按行(列)展开 第二章 行列式
82.7克兰姆法则一、非齐次与齐交线性方程组的概念二、克兰姆法则及有关定理
一、非齐次与齐交线性方程组的概念 二、克兰姆法则及有关定理
一、非齐次与齐交线性方程组的概念设线性方程组axi +aix +... +ainxn = bia21xj +a22x, +..+a2nxn = b2(1)..[anii+an2X2+...+annxn=bn若常数项bj,bz，,b,不全为零，则称（1）为非齐次线性方程组+Zajx, =b, i=1,2,..,n.简记为j=1$2.7Cramer法则K下
§2.7 Cramer法则 一、非齐次与齐交线性方程组的概念 1 , 1,2, , . n ij j i j a x b i n = = = 设线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = (1) 非齐次线性方程组． 若常数项 b b b 1 2 , , , n 不全为零，则称（1）为 简记为
若常数项 b,=b,=..=b,=0，即aixi+aix+...+ainxn=0a2iXj + a22X2 + ... + a2nx, = 0(2)[aniX, +an2X, +...+annn=0则称（2）为齐次线性方程组2简记为ajx, =0, i=1,2,..,n.j=1R区F$2.7Cramer法则
§2.7 Cramer法则 1 0, 1,2, , . n ij j j a x i n = = = 则称（2）为齐次线性方程组． 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = (2) 若常数项 b b b 1 2 = = = = n 0, 即 简记为
二、克兰姆法则如果线性方程组（1）的系数矩阵a1a12aina21 a22.aznA=anan2.ann的行列式D=A±0，贝则方程组(1)有唯一解DD2DuxXDDD$2.7Cramer法则人V
§2.7 Cramer法则 二、克兰姆法则 如果线性方程组（1）的系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 的行列式 D A = | | 0 ，则方程组(１)有唯一解 1 2 1 2 , , , n n D D D x x x D D D = = =
其中D,(j=1,2,,n)是把行列式D中第i列的元素用方程组（1）的常数项bi,b,,,b，代换所得的一个n阶行列式，即a .. ali,j-bi ali,j+ ... ainb2 a2,j+1"a21 ... a2,j-1 b...a2nD:b, An,j+ .. Aman .. an,j-1 =b,A,+bA, +..+b,Awj =Zb,AsS=1$2.7Cramer法则人
§2.7 Cramer法则 DA = | | 0 其中 D j n j ( 1,2, , ) = 是把行列式 D 中第 j 列 所得的一个 n 阶行列式，即 的元素用方程组（1）的常数项 b b b 1 2 , , , n 代换 11 1, 1 1 1, 1 1 21 2, 1 2 2, 1 2 1 , 1 , 1 j j n j j n j n n j n n j nn a a b a a a a b a a D a a b a a − + − + − + = 1 1 2 2 j j n nj = + + + b A b A b A 1 . n s sj s b A = =
例1：解线性方程组Xi+X+X+X4=5X +2x2 -xg + 4x4 = -22xi -3x2 - X3 - 5x4 = -23x +X, +2x, +11x4 = 0解：方程组的系数行列式112 -14D== -142 ± 02-3 -1 -532111$2.7Cramer法则R下
§2.7 Cramer法则 例1：解线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 4 2 2 3 5 2 3 2 11 0 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = + − + = − − − − = − + + + = 解：方程组的系数行列式 1 1 1 1 1 2 1 4 142 0 2 3 1 5 3 1 2 11 D − = = − − − −
5-22.-14D,= -142=2-3 -1 -501112：方程组有唯一解（1，2，3，一1）冈$2.7Cramer法则
§2.7 Cramer法则 1 5 1 1 1 2 2 1 4 142 2 3 1 5 0 1 2 11 D − − = = − − − − − ∴ 方程组有唯一解（1，2，3，－1）
撇开求解公式，克兰姆法则可叙述为下面的定理定理1如果线性方程组（1）的系数行列式D±0,则方程组（1）一定有解，且解是唯一的。推论如果线性方程组（1）无解或有两个不同解，则方程组的系数行列式D必为零定理2如果齐次线性方程组（2）的系数行列式D±0，则方程组（2）没有非零解，即只有零解$2.7Cramer法则R区下
§2.7 Cramer法则 撇开求解公式，克兰姆法则可叙述为下面的定理 则方程组（1）一定有解，且解是唯一的． 定理1 如果线性方程组（1）的系数行列式 D 0, 推论 如果线性方程组（1）无解或有两个不同解， 则方程组的系数行列式 D 必为零． D 0, 则方程组（2）没有非零解，即只有零解． 定理2 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式
注：对于齐次线性方程组ax, +ax, +...+ainx,=0a21xi+a22x,+...+a2n,=0(2)[anX+an2X, +...+annxn=0Xi=x2==x,=0一定是它的解，称之为零解（2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解RF$2.7Cramer法则
§2.7 Cramer法则 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = （2） 对于齐次线性方程组 （2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解． 注： 1 2 0 n x x x = = = = 一定是它的解，称之为零解．