西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITYS 9.7向量到子空间的距离一、向量到子空间的距离二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 一、向量到子空间的距离 §9.7 向量到子空间的距离 二、最小二乘法
西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY一、向量到子空间的距离1.向量间的距离定义长度α-β称为向量α和β的距离，记为 d(α,β),基本性质(i) d(α,β)=d(β,α)(ii）d(α,β)≥0,并且仅当α=β的等号才成立;(ii)(三角形不等式)d(α,β)≤d(α,r)+d(,β)
§9.7 向量到子空间的距离 1. 向量间的距离 长度 − 称为向量 和 的距离， 基本性质 （i） d d ( , , ) = ( ) （ii） d ( , 0, ) 并且仅当 = 的等号才成立； （iii）(三角形不等式) d d d ( , , , . ) + ( ) ( ) 一、向量到子空间的距离 定义 记为 d ( , .)
西安毛子科技大学一XIDIANUNIVERSITY2.向量到子空间的距离(1设α为一固定向量，如果 α与子空间W中每个向量垂直，称α垂直于子空间W，记作αw.注:如果W = L(α,α2,"",α),则αlWαlα,, i=1,2,,k
§9.7 向量到子空间的距离 2.向量到子空间的距离 (1) 设 为一固定向量 ，如果 与子空间 W 中 每个向量垂直， 称 垂直于子空间 W , 记作 ⊥ W . 如果 W L = ( , , , ), 1 2 k 则 , 1,2, , . ⊥ ⊥ = W i k i 注:
西要毛子律技大學XIDIAN UNIVERSITY(2）向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短。如图示意，对给定β，设是W中的满足β-W的向量，则对VW有[β-≤[β-].β-y-8
§9.7 向量到子空间的距离 (2) 向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短. − − − 如图示意，对给定 ，设 是 W 中的满足 − ⊥ W 的向量，则 对 W 有 − −
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY证明： β-=(β-)+(-),因W是子空间，yew,sew,则 -W,故β--.由勾股定理+=,所以 β-≤β--T
§9.7 向量到子空间的距离 − = − + − ( ) ( ), 因 W 是子空间， W W , , 则 − W , 由勾股定理 2 2 2 − + − = − , 证明： 故 − ⊥ − . 所以 − − . − − −
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY二、最小二乘法问题提出：实系数线性方程组AX = b,A=(a) e Rs, b =[b,b2.,b,](1)可能无解，即任意X,X2,X,都可能使Z(a+a +.+ an*, -b,)(2)i=1不等于零
§9.7 向量到子空间的距离 二、最小二乘法 问题提出: 实系数线性方程组 ( ) 1 2 , , , , , n s AX b A a R b b b b ij n = = = （1） 即任意 x x x 1 2 , , , n 都可能使 ( ) 2 1 1 2 2 1 n i i in n i i a x a x a x b = + + + − （2） 不等于零． 可能无解
西安毛子科技大学一XIDIAN UNIVERSITY设法找实数组x,x,",x°使（2）最小这样的x,x，,x°为方程组（1）的最小二乘解此问题叫最小二乘法问题最小二乘法的表示：设[Eax,Eax,,Eawx,= AX.(3)
§9.7 向量到子空间的距离 设法找实数组 使（2）最小, 2 0 0 0 1 , , , n x x x 这样的 2 为方程组（1）的最小二乘解， 0 0 0 1 , , , n x x x 此问题叫最小二乘法问题. 最小二乘法的表示: 设 1 2 1 1 1 , , , , . n n n j j j j nj j j j j Y a x a x a x AX = = = = = （3）
西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY用距离的概念，（2）就是Y-bl.由（3），设A=[α,α2,",α,]，则Y =xa +xa2 +...+x,as,要找X使（2）最小，等价于找子空间L(αr,αz,",a,)中向量Y使b到它的距离（Y-b)比到L(αj,α2,α)中其它向量的距离都短
§9.7 向量到子空间的距离 用距离的概念，（2）就是 Y b − 2 . 1 1 2 2 , Y x x x = + + + s s 由（3）, 设 A = 1 2 , , , , s 则 要找 X 使（2）最小，等价于找子空间 1 2 ( , , , ) L s 中向量 Y 使 b 到它的距离 ( ) Y b − 比到 1 2 ( , , , ) L s 中其它向量的距离都短
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY设 C=b-Y=b-AX,为此必 C L(αj,α2,"",α,)这等价于(4)(C,α) = (C,α2) =... =(C,α,) = 0,即 α'C= 0,α,C= 0,",α'C= 0这样（4）等价于(5)A(B-AX)=0 或 A'AX =A'B这就是最小二乘解所满足的代数方程
§9.7 向量到子空间的距离 设 C b Y b AX = − = − , 这等价于 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0, C C C = = = = s （4） 即 1 2 0, 0, , 0, C C Cs = = = 这样（4）等价于 （5） 1 2 ( , , , ) 为此必 C L ⊥ s A B AX ( − =) 0 或 A AX A B = 这就是最小二乘解所满足的代数方程
西安毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY例题已知某种材料在生产过程中的废品率J与某种化学成份x有关．下列表中记载了某工厂生产中y与相应的x的几次数值：0.90.90.810.600.560.35y(%) [1.00x(%) |3.63.94.04.14.23.73.8找出y对x的一个近似公式
§9.7 向量到子空间的距离 已知某种材料在生产过程中的废品率 y 与某种 化学成份 x 有关．下列表中记载了某工厂生产 中 y 与相应的 x 的几次数值： 找出 y 对 x 的一个近似公式. y(%) x(%) 1.00 0.9 0.9 0.81 0.60 0.56 0.35 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 例题