西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.6 线性变换的值域与核

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYs7.6线性变换的值域与核一、值域与核的概念二、值域与核的有关性质

一、值域与核的概念 二、值域与核的有关性质 §7.6 线性变换的值域与核

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY一、值域与核的概念定义1：设是线性空间V的一个线性变换，集合o(V) = (o(α) [αeV)称为线性变换?的值域，也记作Imo，或V集合-(0)={α|αV,(α)=0)称为线性变换的核，也记作kerα注：α(V)，α-(0)皆为V的子空间

一、值域与核的概念 定义1：设  是线性空间V的一个线性变换， 集合     ( ) ( ) | V V =    称为线性变换  的值域，也记作 Im , .   或 V 集合   1      (0) | , ( ) 0 V − =  = 称为线性变换  的核，也记作 ker .  注： 皆为V的子空间. 1   ( ), (0) V −

西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY事实上，α(V)二V,o(V)→の，且对Vo(α),o(β)o(V), Vke P有 (α)+(β)=α(α+β)(V)ko(α) =(kα) α(V)即(V)对于V的加法与数量乘法封闭:.α(V)为V的子空间.再看-(0)。首先，α-(0)二V,α(0)=0

事实上，   ( ) , ( ) , V V V    且对          ( ), ( ) ( ), V k P 有         ( ) ( ) ( ) ( ) + = +  V k k V      ( ) ( ) ( ) =  即  ( ) V 对于V的加法与数量乘法封闭.  ( ) V 为V的子空间. 再看 1  (0). − 1   (0) , (0) 0, V − 首先，  =

西安毛子科技大学一XIDIANUNIVERSITY:. 0 α-1(0), α-1(0)+0.又对 α,β-(0), 有(α)=0,(β)=0 从而α(α+β) =(α)+(β) = 0VkeP(kα) = ko(α) = k0 = 0,即 α+β-(0),kα-(0):.α-(0)对于V的加法与数量乘法封闭.故α(0)为V的子空间

又对 有 从而 1    , (0), −       ( ) 0, ( ) 0 = =        ( ) ( ) ( ) 0. + = + =     ( ) ( ) 0 0, k k k k P = = =   即 1 1      (0), (0), k − − +   故 为V的子空间. 1  (0) − 1 1 0 (0), (0) .   − −     1  (0) −  对于V的加法与数量乘法封闭

西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY定义2：线性变换α的值域α(V)的维数称为的秩；α的核α-(0)的维数称为的零度例1、在线性空间P[x],中，令D(f(x)= f(x)D(P[x],) = P[x]n-1'则D-I(0) = P所以D的秩为n一1，D的零度为1

定义2：线性变换  的值域  ( ) V 的维数称为  的秩； 的核 的维数称为 的零度. 1  (0) −   例1、在线性空间 P x[ ]n 中，令 D f x f x ( ( ) ( ) ) = 则 ( ) 1 [ ] [ ] , D P x P x n n = − 1 D P (0) − = 所以D的秩为n－1，D的零度为1

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY二、有关性质1.（定理10）设是n维线性空间V的线性变换：8,82,8n是V的一组基，α在这组基下的矩阵是A则1）α的值域(V)是由基象组生成的子空间，即0(V) = L(α(c1),0(82),*,0(8n)2）的秩=A的秩

1. (定理10) 设  是n维线性空间V的线性变换，    1 2 , , , n 是V的一组基，  在这组基下的矩阵是A， 则 1）  的值域  ( ) V 是由基象组生成的子空间，即        ( ) ( ), ( ), , ( ) V L = ( 1 2 n ) 2）  的秩＝A的秩. 二、有关性质

西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY2.设α为n维线性空间V的线性变换，则的秩十的零度=n即 dimo(V)+ dimo-'(0) = n注意：虽然α(V)与α-(O)的维数之和等于n，但是a(V)+α-(0)未必等于v如在例1中,D(P[x],)+ D-1(O) = P[x]n-1 + P[x]

2. 设  为n维线性空间V的线性变换，则  的秩＋  的零度＝n 即 1 dim ( ) dim (0) .   V n − + = 虽然  ( ) V 与 的维数之和等于n ，但是 1  (0) − 未必等于V. 1   ( ) (0) V − + 如在例1中, ( ) ( ) 1 1 [ ] 0 [ ] [ ] D P x D P x P x n n n − + =  − 注意：

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY3.设为n维线性空间V的线性变换，则i)是满射(V)=Vii)是单射台α-(0)={0}4．设为n维线性空间V的线性变换，则α是单射←α是满射

ⅰ)  是满射  =  ( ) V V 3. 设  为n维线性空间V的线性变换，则 ⅱ)  是单射   1  (0) 0  = −  是单射   是满射. 4. 设  为n 维线性空间V的线性变换，则

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY例2、设A是一个n阶方阵，A’=A，证明：A相似于1一个对角矩阵100证：设A是n维线性空间V的一个线性变换在一组基1,62,",6n下的矩阵，即0(c1,82,",6n.)=(61,62,"",6n,)A

例2、设A是一个n阶方阵， 证明：A相似于 2 A A = , 证：设A是n维线性空间V的一个线性变换  在一 组基    1 2 , , , n 下的矩阵，即        ( 1 2 , 1 2 , , , , ( , , , ) n n ) = A 一个对角矩阵 1 1 0 0      

西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITY由 A=A,知2=.任取 α(V),设 α=(β),βV,则 (α)=α(α(β)=(β) =(β) =α故有 α(V),(α)=0 当且仅当 α=0.因此有 (V)n-(0)={0)从而(V)+-(0)是直和.又 dimo(V)+dimo-l(0)= n所以有 V=(V)④α-(0)

由 知 2 A A = , 2  = . 任取    ( ), V 设     =  ( ), , V 则 2           ( ) ( ( )) ( ) ( ) = = = = 故有      = ( ), ( ) 0 V 当且仅当  = 0. 因此有   1   ( ) (0) 0 V − = 又 1 dim ( ) dim (0)   V n − + = 所以有 1 V V   ( ) (0). − =  从而 是直和 . 1   ( ) (0) V − +