西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITYs 8.4矩阵相似的条件定理：数字矩阵A,B相似αE-A与αE-B等价
§8.4 矩阵相似的条件 定理： 数字矩阵 A B E A E B , 相似 − − 与 等价
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY引理1：设P为数域 A,Bpxn,若有 P,Q,pmn使aE-A=P(aE-B)Q①则A与B相似。证： 由 P(αE-B)Ω= aP,EQ-P,BQo= PQ- PBQ = E- A得PQ=E，P,BQ=A即 P,=Q-，A=Q"BQ．：A与B相似
设P为数域 A B P , , n n 若有 0 0 , ， n n P Q P 则A与B相似. 证：由 ( ) P E B Q 0 0 − = − P Q P BQ 0 0 0 0 = − E A 得 0 0 0 0 P Q E P BQ A = = , 即 1 0 0 P Q , − = 引理1： ( ) 使 E A P E B Q − = − 0 0 ① ∴ A与B相似. 1 0 0 A Q BQ . − = = − P EQ P BQ 0 0 0 0
西安毛子科技大枣二XIDIAN UNIVERSITY引理2：对任意 AE pnxn及任意 -矩阵U(a),V(a)一定存在-矩阵 Q(a),R(a)及 Uo,V pmn使 U(a)=(aE-A)Q(a)+U②V(a)= R(a)(aE - A)+V?
对任意 A P n n 及任意 -矩阵 U V ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) 使 U E A Q U = − + 0 ② ( ) ( )( ) V R E A V = − + 0 ③ 一定存在 -矩阵 Q R ( ), ( ) 及 0 0 , , n n U V P 引理2：
西安毛子律技大学XIDIANUNIVERSIT证: 设 U(a)=D,a"+D,am-I +..+Dm-1a+ Dm这里 Do,D,.,Dm E Pmn, 且 D 0.i) 若m=0，则令 Q(2)=0，U。=Do.ii）若m>0，设Q(2) =Q,am- +Q,am-2 + ..+Qm-2a +Qm-1,这里 Q;εPmxn 为待定矩阵．于是(aE-A)Q(a)=Qa" +(Q, - AQ)am-1 +...+(Qx - AQk-1)am-k + +(Qm-1 - AQm-2)a - AQm
( E A Q − ) ( ) 证： 这里 0 1 , , , , 且 n n D D D P m 0 D 0. ( ) 1 0 1 1 , m m U D D D D m m − 设 = + + + + − i) 若 m = 0, 则令 ( ) 0 0 Q U D = = 0, . ii）若 m 0, 设 1 2 0 1 2 1 ( ) , m m Q Q Q Q Q m m − − = + + + + − − 这里 为待定矩阵. n n Q P i 于是 ( ) 1 0 1 0 m m Q Q AQ − = + − + ( 1 1 2 1 ) ( ) m k Q AQ Q AQ AQ k k m m m − + − + + − − − − − −
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY要使①式成立，只需取Q. = DQ. = D.Q - AQ. = D,Q = D, + AQoQk - AQk-1 = DkQk = D, + AQk-1即Qm-11_ AQm=2 = Dm-1Qm-1 = Dm-1 + AQm-2-AQm-1 +U.= D,U. = Dm + AQ.nm即可。同理可证②
要使①式成立，只需取 0 0 1 0 1 1 1 2 1 1 0 k k k m m m m m Q D Q AQ D Q AQ D Q AQ D AQ U D − − − − − = − = − = − = − + = 即 0 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 k k k m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ − − − − − = = + = + = + = + 即可. 同理可证②
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY定理：设 A,Bpx"，则A与B相似台特征矩阵E-A与E-B等价。证："=”若A与B相似，则存在可逆矩阵T，使A= T-BT.于是aE-A=aE-T-BT=T-(aE-B)T由定理6之推论，得 E－A与E－B等价
设 , ，则A与B相似 n n A B P 特征矩阵 E A − 与 E B− 等价. 定理： 证： " " 若A与B相似，则存在可逆矩阵T， 于是 ( ) 1 T E B T − = − 由定理6之推论，得 E A − 与E B− 等价. 1 A T BT. − 使 = E A − 1 E T BT − = −
西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY"←"若E-A与E-B等价，则存在可逆一矩阵U(a),V(a)，使④aE-A=U(a)(E -B)V(2).由引理2，对于A，U(a),V(a）存在一矩阵 Q(a),R(a)及U,Ve pmx, 使U(a)=(aE -A)Q(a)+U?V(2)= R(2)(aE - A)+V?
" " 若 E A − 与 E B− 等价， 则存在可逆 －矩阵 U V ( ), ( ) ，使 E A U E B V − = − ( )( ) ( ). ④ R( ) 及 0 0 , ，使 n n U V P 由引理2，对于A， U V ( ), ( ) 存在 －矩阵 Q( ), ( ) ( ) ( ) U E A Q U = − + 0 ⑤ ( ) ( )( ) V R E A V = − + 0 ⑥
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY由④，有U(a)-'(aE-A)=(aE-B)V(a)=(aE -B)[R(a)(E- A)+V]即,U(a)" -(aE-B)R(a) (aE-A)=(aE-B)V比较两端，得T =U(a)-" -(aE-B)R(a)e pun①T(aE-A)=(aE-B)V?
由④，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U E A E B V − − = − ( ) ( )( ) E B R E A V0 = − − + 即， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U E B R E A E B V 0 − − − − = − 比较两端，得 ( ) ( ) ( ) 1 n n T U E B R P − = − − ⑦ ( ) ( ) T E A E B V − = − 0 ⑧
西安毛子律技大学三XIDIAN UNIVERSITY下证T可逆.由①有, U(a)T=E-U(a)(aE-B)R(a)即E=U(2)T+U(a)(E-B)R(a)=U(a)T+(aE - A)V(a)' R(a)[(aE- A)Q(a)+U.]T+(aE-A)V(a)"R(a)=U,T +(aE - A)[Q(a)+V(a)' R(a)比较两端，得(aE - A)Q(a)+V(a)" R(a) = 0
下证T可逆. 由⑦有， U T E U E B R ( ) = − − ( )( ) ( ). 即 E U T U E B R = + − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U T E A V R − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 E A Q U T E A V R 0 − = − + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U T E A Q V R 0 − = + − + 比较两端，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 E A Q V R 0 − − + =
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSIT故T可逆.U.T = E.:7于是 E-A=T-(E-B)V.由引理1，A与B相似.推论:设A,Be Pmn，则A,B 相似特征矩阵 αEA与αE-B 有相同的不变因子,证：A,B相似aE-A与aE-B等价.αE一A与E-B有相同的不变因子
故T可逆. 由引理1，A与B相似. 0 = U T E. ( ) 1 0 E A T E B V . − 于是 − = − 推论:设 , , 则 相似 n n A B P A B, 特征矩阵 E A − 与 E B− 有相同的不变因子. 证: A B, 相似 E A − 与 E B− 等价. E A − 与 E B− 有相同的不变因子