第一章多项式S7多项式函数s1数域s8复、实系数多项式82一元多项式的因式分解S3整除的概念s9有理系数多项式S4最大公因式s10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
51.3整除的概念 一、带余除法 二、整除
一、带余除法 二、整除
一、带余除法定理对 Vf(x),g(x) E P[xl, g(x)± 0,一定存在 q(x),r(x)e P[xl， 使f(x) = q(x)g(x)+r(x)成立，其中a(r(x)<a(g(x))或 r(x)=0,并且这样的 g(x),r(x)是唯一决定的。f(x)称 q(x)为 g(x除 (x的商，r(g(除的余式.F81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 对 f x g x P x g x ( ), ( ) [ ], ( ) 0, 一定存在 q x r x P x ( ), ( ) [ ], 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 成立，其中 ( ( )) ( ( )) r x g x 或 r x( ) 0, = 一、带余除法 定理 并且这样的 g x r x ( ), ( ) 是唯一决定的． 称 q x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的商， r x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的余式．
证：先证存在性.①若 f(x)=0,则令q(x)=r(x)=0. 结论成立.②若f(x)±0，设f(x),g(x)的次数分别为 n,m,当 n<m 时， 显然取 q(x)=0,r(x)=f(x)即有f(x)=q(x)g(x)+r(x), 结论成立.下面讨论n≥m的情形，对n作数学归纳法次数为0时结论显然成立假设对次数小于n的f(x)，结论已成立。区区下81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 ① 若 f x( ) 0, = 则令 q x r x ( ) ( ) 0. = = 结论成立． ② 若 f x( ) 0, 设 f x g x ( ), ( ) 的次数分别为 n m, , 证： 当 n m 时， 结论成立． 显然取 q x r x f x ( ) 0, ( ) ( ) = = 即有 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 下面讨论 n m 的情形， 假设对次数小于n的 f x( ) ，结论已成立． 先证存在性． 对 n 作数学归纳法． 次数为０时结论显然成立．
现在来看次数为n的情形。设f(x)的首项为ax，g(x)的首项为bxm,(n≥m)则 b-laxn-"g(x）与 f(x)首项相同，因而，多项式fi(x)=f(x)-b-'ax"-mg(x)的次数小于n或f为0.若fi(x)=0，令 q(x)=b-lax"-",r(x)=0即可.若 a(fi(x))<n，由归纳假设，存在 qi(x),r(x)f(x)=qi(x)g(x)+r(x)使得F81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 设 f x( ) 的首项为 , n ax g x( ) , ( ) m 的首项为 bx n m 则 ( ) 与 首项相同， 1 n m b ax g x − − f x( ) 因而，多项式 ( ) 1 ( ) ( ) - 1 = - g n-m f x f x b ax x 的次数小于n或 f1为0． 若 ( ) f x 1 = 0, 令 1 ( ) , ( ) 0 n m q x b ax r x − − = = 即可． 若 ( f x n 1 ( )) , 由归纳假设，存在 1 1 q x r x ( ), ( ) 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x q x g x r x = + 现在来看次数为n的情形．
其中 a(r(x)<a(g(x)或者r(x)=0. 于是F(x) =(b-laxi-m +q(x)g(x)+r(x).即有 q(x)=b-lax"-m+qi(x), r(x)=ri(x)使f(x)= q(x)g(x)+ r(x),成立.由归纳法原理，对 f(x),g(x)0， q(x),r(x)的存在性得证。区区下81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 其中 ( ( )) ( ) 1 r x < g x( ) 或者 1 r x( ) 0. = 于是 ( ) ( ( )) ( ) ( ) 1 1 1 . n m f x b ax q x g x r x − − = + + 即有 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) , n m q x b ax q x r x r x − − = + = 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 成立． 的存在性得证． 由归纳法原理，对 f x g x ( ), ( ) 0, q x r x ( ), ( )
再证唯一性。若同时有 (x)=q(x)g(x)+r(x),其中 a(r(x)<a(g(x)或r(x)=0.和 J(x)=q(x)g(x)+r'(x),其中 a(r(x)<a(g(x)或r(x)=0q(x)g(x)+r(x)=q(x)g(x)+r'(x)则‘即(q(x)-q(x)g(x)=r(x)-r(x).F81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 再证唯一性． 若同时有 f x q x g x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ), 其中 (r x g x r x ( )) ( ( ))或 ( )＝0. 其中 (r x g x r x ( )) ( ( ))或 ( )＝0. 和 f x q x g x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ), 则 q x g x r x q x g x r x ( ) ( ) + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 即 (q x q x g x r x r x ( )－ ( )) ( )＝ ( )－ ( )
若q(α)q(x)，由g(x)±0， 有r'(x)一r(x)±0: a(q(x)-q(x)+o(g(x)=a(r(x)-r(x)≤ max(a(r),a(r))<a(g(x)但 a(q(x)-q(x)+a(g(x)≥a(g(x),，矛盾所以 q(x)=q(x)， 从而 r(x)=r(x).唯一性得证。区区下81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 若q x q x g x r x r x ( ) ( )，由 ( ) 0, 0 有 ( )－ ( ) (q x q x g x r x r x ( )－ ( ))＋ ( ( ))＝ ( ( )－ ( )) max , ( (r r ) ( )) 但 (q x q x g x g x ( )－ ( ))＋ ( ( )) ( ( )), 矛盾． ( g x( )) 所以 q x q x ( ) = ( ), 从而 r x r x ( )= ( ). 唯一性得证．
附：综合除法若 f(x)=agx" +ax"- +...+an,则 x-a除 f(x)的商式 q(x)=bx"-1 +.·+bn-1 和余式 r可按下列计算格式求得：azanaoaian-1aab n-1+) ab， ab,abn-2...b=aob,bzbn-1这里， b =a +abo，b, =az +ab， ..,bn-1 = an-1 +abn-2, r= a, +abn-1.F81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 a a a a a a 0 1 2 1 n n − 0 1 2 1 n n ab ab ab ab ＋ − − ) 0 0 1 2 1 n b a b b b r = − 附： 综合除法 的商式 1 0 1 ( ) n n q x b x b − = + + − 和余式 r 可按下列计算格式求得： 这里， 若 1 ( ) , n n-1 0 n f x a x + a x + + a = 则 x a − 除 f x( ) 1 1 0 2 2 1 b a ab b a ab = + = + , , ,1 . n n r a ab = + − 1 1 2 , n n n b a ab − − − = +
说明：综合除法一般用于①求一次多项式x-a去除f(x)的商式及余式.②把f(x)表成x-a 的方幂和，即表成f(x) = co +ci(x -a)+c(x-a) +..的形式。区区下81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 ① 求一次多项式 x a − 去除 f x( ) 的商式及余式． ② 把 f x( ) 表成 x a − 的方幂和，即表成 2 0 1 2 f x c c x a c x a ( ) ( ) ( ) = + − + − + 的形式． 说明： 综合除法一般用于