第一章多项式S7多项式函数s1数域s8复、实系数多项式82一元多项式的因式分解S3整除的概念s9有理系数多项式S4最大公因式s10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
一、带余除法定理对 Vf(x),g(x) E P[xl, g(x)± 0,一定存在 q(x),r(x)e P[xl, 使f(x) = q(x)g(x)+r(x)成立,其中a(r(x)<a(g(x))或 r(x)=0,并且这样的 g(x),r(x)是唯一决定的。f(x)称 q(x)为 g(x除 (x的商,r(g(除的余式.F81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 对 f x g x P x g x ( ), ( ) [ ], ( ) 0, 一定存在 q x r x P x ( ), ( ) [ ], 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 成立,其中 ( ( )) ( ( )) r x g x 或 r x( ) 0, = 一、带余除法 定理 并且这样的 g x r x ( ), ( ) 是唯一决定的. 称 q x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的商, r x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的余式.
证:先证存在性.①若 f(x)=0,则令q(x)=r(x)=0. 结论成立.②若f(x)±0,设f(x),g(x)的次数分别为 n,m,当 n<m 时, 显然取 q(x)=0,r(x)=f(x)即有f(x)=q(x)g(x)+r(x), 结论成立.下面讨论n≥m的情形,对n作数学归纳法次数为0时结论显然成立假设对次数小于n的f(x),结论已成立。区区下81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 ① 若 f x( ) 0, = 则令 q x r x ( ) ( ) 0. = = 结论成立. ② 若 f x( ) 0, 设 f x g x ( ), ( ) 的次数分别为 n m, , 证: 当 n m 时, 结论成立. 显然取 q x r x f x ( ) 0, ( ) ( ) = = 即有 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 下面讨论 n m 的情形, 假设对次数小于n的 f x( ) ,结论已成立. 先证存在性. 对 n 作数学归纳法. 次数为0时结论显然成立.
现在来看次数为n的情形。设f(x)的首项为ax,g(x)的首项为bxm,(n≥m)则 b-laxn-"g(x)与 f(x)首项相同,因而,多项式fi(x)=f(x)-b-'ax"-mg(x)的次数小于n或f为0.若fi(x)=0,令 q(x)=b-lax"-",r(x)=0即可.若 a(fi(x))<n,由归纳假设,存在 qi(x),r(x)f(x)=qi(x)g(x)+r(x)使得F81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 设 f x( ) 的首项为 , n ax g x( ) , ( ) m 的首项为 bx n m 则 ( ) 与 首项相同, 1 n m b ax g x − − f x( ) 因而,多项式 ( ) 1 ( ) ( ) - 1 = - g n-m f x f x b ax x 的次数小于n或 f1为0. 若 ( ) f x 1 = 0, 令 1 ( ) , ( ) 0 n m q x b ax r x − − = = 即可. 若 ( f x n 1 ( )) , 由归纳假设,存在 1 1 q x r x ( ), ( ) 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x q x g x r x = + 现在来看次数为n的情形.
其中 a(r(x)<a(g(x)或者r(x)=0. 于是F(x) =(b-laxi-m +q(x)g(x)+r(x).即有 q(x)=b-lax"-m+qi(x), r(x)=ri(x)使f(x)= q(x)g(x)+ r(x),成立.由归纳法原理,对 f(x),g(x)0, q(x),r(x)的存在性得证。区区下81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 其中 ( ( )) ( ) 1 r x < g x( ) 或者 1 r x( ) 0. = 于是 ( ) ( ( )) ( ) ( ) 1 1 1 . n m f x b ax q x g x r x − − = + + 即有 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) , n m q x b ax q x r x r x − − = + = 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 成立. 的存在性得证. 由归纳法原理,对 f x g x ( ), ( ) 0, q x r x ( ), ( )
再证唯一性。若同时有 (x)=q(x)g(x)+r(x),其中 a(r(x)<a(g(x)或r(x)=0.和 J(x)=q(x)g(x)+r'(x),其中 a(r(x)<a(g(x)或r(x)=0q(x)g(x)+r(x)=q(x)g(x)+r'(x)则‘即(q(x)-q(x)g(x)=r(x)-r(x).F81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 再证唯一性. 若同时有 f x q x g x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ), 其中 (r x g x r x ( )) ( ( ))或 ( )=0. 其中 (r x g x r x ( )) ( ( ))或 ( )=0. 和 f x q x g x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ), 则 q x g x r x q x g x r x ( ) ( ) + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 即 (q x q x g x r x r x ( )- ( )) ( )= ( )- ( )
若q(α)q(x),由g(x)±0, 有r'(x)一r(x)±0: a(q(x)-q(x)+o(g(x)=a(r(x)-r(x)≤ max(a(r),a(r))<a(g(x)但 a(q(x)-q(x)+a(g(x)≥a(g(x),,矛盾所以 q(x)=q(x), 从而 r(x)=r(x).唯一性得证。区区下81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 若q x q x g x r x r x ( ) ( ),由 ( ) 0, 0 有 ( )- ( ) (q x q x g x r x r x ( )- ( ))+ ( ( ))= ( ( )- ( )) max , ( (r r ) ( )) 但 (q x q x g x g x ( )- ( ))+ ( ( )) ( ( )), 矛盾. ( g x( )) 所以 q x q x ( ) = ( ), 从而 r x r x ( )= ( ). 唯一性得证.
附:综合除法若 f(x)=agx" +ax"- +...+an,则 x-a除 f(x)的商式 q(x)=bx"-1 +.·+bn-1 和余式 r可按下列计算格式求得:azanaoaian-1aab n-1+) ab, ab,abn-2...b=aob,bzbn-1这里, b =a +abo,b, =az +ab, ..,bn-1 = an-1 +abn-2, r= a, +abn-1.F81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 a a a a a a 0 1 2 1 n n − 0 1 2 1 n n ab ab ab ab + − − ) 0 0 1 2 1 n b a b b b r = − 附: 综合除法 的商式 1 0 1 ( ) n n q x b x b − = + + − 和余式 r 可按下列计算格式求得: 这里, 若 1 ( ) , n n-1 0 n f x a x + a x + + a = 则 x a − 除 f x( ) 1 1 0 2 2 1 b a ab b a ab = + = + , , ,1 . n n r a ab = + − 1 1 2 , n n n b a ab − − − = +