第一章多项式S7多项式函数S1数域s8复、实系数多项式82一元多项式的因式分解S3整除的概念89有理系数多项式S4最大公因式s10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
$1.8复系数与实系数多项式的因式分解一、复系数多项式二、实系数多项式
一、复系数多项式 二、实系数多项式
一、复系数多项式1.代数基本定理vf(x)eC[x]，若 a(f(x)≥1，则f(x) 在复数域C上必有一根，推论1Vf(x)eC[xl, 若 a(f(x)≥1, 则存在x-aEC[x]使(x-a)l f(x).即，f(x)在复数域上必有一个一次因式。F81.8复系数于是系数多项式的因式分解
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解 1. 代数基本定理 一、复系数多项式 f x C x ( ) [ ] , 若 ( ( )) 1 , f x 则 f x( ) 在复数域 C 上必有一根． 推论1 f x C x ( ) [ ] , 若 ( ( )) 1 , f x 则存在 x a C x − [ ] , 使 ( ) | ( ) . x a f x − 即， f x( ) 在复数域上必有一个一次因式．
推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即Vf(x)eC[xl, a(f(x)>1, 则 f(x)可约.2.复系数多项式因式分解定理Vf(x)eC[xl, 若a(f(x)≥1, 则 f(x)在复数域C上可唯一分解成一次因式的乘积。F81.8复系数于是系数多项式的因式分解
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解 推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 f x C x ( ) [ ], ( ( )) 1, f x 则 f x( ) 可约． 2. 复系数多项式因式分解定理 f x C x ( ) [ ], 若 ( ( )) 1, f x 则 f x( ) 在复数域 C 上可唯一分解成一次因式的乘积．
推论1Vf(x)eC[xl, 若 a(f(x)≥l, 则 f(x) 在 C上具有标准分解式f(x) =a(x-α)(x-α) ... (x-α)s其中α,αz…,α,是不同的复数，,2,…,r,推论2vf(x)eC[xl, 若 a(f(x)=n，则 f(x) 有n个复根（重根按重数计算）1.8复系数于是系数多项式的因式分解
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解 推论1 推论2 f x C x ( ) [ ], 若 ( ( )) 1, f x 则 f x( ) 在 C 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s r r r s f x a x x x = − − − 1 2 , , Z s r r r + 其中 是不同的复数， , 1 2 , , , s 上具有标准分解式 复根（重根按重数计算）． f x C x ( ) [ ]， 若 = ( ( )) f x n ，则 f x( ) 有n个
二、实系数多项式命题：若α是实系数多项式f(x)的复根，则α的共轭复数α也是f(x)的复根，证: 设 f(x)=anx"+an-ix"-I +...+ao, a,eR若α为根，则f(α) = a,α" +an-iα"-l +...+a, = 0n-两边取共轭有f(α)=anα"+an-iα"+.…+a=0α也是为f(x)复根。FS1.8复系数于是系数多项式的因式分解
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解 二、实系数多项式 命题：若 是实系数多项式 的复根，则 的共轭复数 也是 的复根． f x( ) f x( ) 若 为根，则 1 1 0 ( ) 0 n n n n f a a a − = + + + = − 两边取共轭有 ∴ 也是为 f x( ) 复根． 1 1 0 ( ) 0 n n n n f a a a − = + + + = − 证： 1 1 0 ( ) , n n n n i f x a x a x a a R − 设 = + + + −
实系数多项式因式分解定理vf(x)E R[xl，若 a(f(x)≥1， 则 f(x)可唯地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积证：对f(x)的次数作数学归纳，a(f(x)=1时，结论显然成立②假设对次数<n的多项式结论成立。设a(f(x))=n，由代数基本定理，f(x)有一复根α。若α为实数，则f(x)=(x-α)f,(x)，其中a(f)=n-1.RS1.8复系数于是系数多项式的因式分解
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解 实系数多项式因式分解定理 ，若 ， 则 可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积． f x R x ( ) [ ] ( ( )) 1 f x f x( ) 证：对 f x( ) 的次数作数学归纳． ① = ( ( )) 1 f x 时，结论显然成立. ② 假设对次数<n的多项式结论成立． 设 = ( ( )) f x n ，由代数基本定理, f x( ) 有一复根 ． 若 为实数, 则 f x x f x ( ) ( ) ( ) = − 1 ，其中 1 = − ( ) 1. f n
若α不为实数，则α也是f(x)的复根，于是f(x)=(x-α)(x-α)f,(x)=(x2 -(α-α)x+ αα)f(x)设α=a+bi，则 α=a-bi,α+α=2aR, αα=α+bR即在R上x2-(α+α)x+αα是一个二次不可约多项式从而 a(f2)=n-2.由归纳假设f(x)、f(x)可分解成一次因式与二次不可约多项式的乘积：由归纳原理，定理得证FS1.8复系数于是系数多项式的因式分解
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解 若 不为实数，则 也是 f x( ) 的复根，于是 2 2 2 f x x x f x x x f x ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ) = − − = − − + 设 = + a bi ，则 = − a bi, 2 2 = + a b R 即在R上 是 一个二次不可约多项式． 2 x x − + + ( ) , + = 2a R 从而 2 = − ( ) 2. f n 由归纳假设 f x 1 ( ) 、 f x 2 ( ) 可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
推论1Vf(x)E R[xl，f(x)在R上具有标准分解式f(x) =an(x-c)hi(x-c2)h2 ...(x-c,)ks(x2+ pix+q)ki....(x?+ p.x+q,)k其中 C,,C2,.,C,P1..,P,q,,eR,ki,..,k,,l,..,l,ezt,且 p2-4q<0,i=1,2.r ，即x2+p,x+qi 为R上的不可约多项式.F1.8复系数于是系数多项式的因式分解
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解 f x R x ( ) [ ], f x( ) 在R上具有标准分解式 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k ks n s f x a x c x c x c x p x q = − − − + + 推论1 1 2 1 1 , , , , , , , , , , s r r 其中 c c c p p q q R 1 1 , , , , , , s s k k l l Z+ 且 ，即 为 2 p q i r − = 4 0, 1,2 2 i x p x qi + + R上的不可约多项式. 2 ( )kr x p x q + + r r
推论2实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二次不可约多项式，所有次数>3的多项式皆可约例1求x"-1 在C上与在R上的标准分解式解：1）在复数范围内x"-1有n个复根，1, 8, c", ., e"-1FS1.8复系数于是系数多项式的因式分解
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解 推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 例1 求 1 在 上与在 上的标准分解式. n x − C R 1) 在复数范围内 x n − 1 有n个复根， 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约. 解： 2 1 1, , , , n −