§4.3矩阵乘积的行列式 一、矩阵乘积的行列式 二、非退化矩阵 三、矩阵乘积的秩
一、矩阵乘积的行列式 二、非退化矩阵 三、矩阵乘积的秩
引入BA行列式乘法规则hi.ana12ain....a21 A22annD,=D2 =..:：.bmlbn2b.[an an2annanCu1C12Cin[ABCnmC则 D,D,=...：·Cn1Cn2Cnn其中 cy=a,b,+a,zb,+.+aub,-2auby,k=1i,j=1,2,...,nS4.3矩阵乘积的行列式与秩
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩 引入 行列式乘法规则 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 , n n n n n n nn n n nn a a a b b b a a a b b b D D a a a b b b = = 其中 ij i j i j in nj 1 1 2 2 c a b a b a b = + + + 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , n n n n nn c c c c c c D D c c c 则 = 1 , n ik kj k a b = = A B AB i j n , 1,2, , =
一、矩阵乘积的行列式定理1设A,B为数域P上的n级矩阵，则[AB| = [A|B].推广 A,A,A为数域P上的n级方阵，则IAA ..AA IIA I...|A IS4.3矩阵乘积的行列式与秩V
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩 定理1 设 A B, 为数域 P 上的 n 级矩阵，则 AB A B = . 1 2 1 2 | | | || | | | . A A A A A A t t = 推广 A A A 1 2 , , , t 为数域 P 上的 n 级方阵，则 一、矩阵乘积的行列式
二、非退化矩阵定义设A为数域P上的n级方阵，若A±0，则称A为非退化的；若A=0，称A为退化的.注：n级方阵A非退化台R(A)=n台A0;n级方阵 A退化台R(A)<nA=0.S4.3矩阵乘积的行列式与秩
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩 定义 若 A = 0 ，称 A 为退化的． 若 A 0 ，则称 A 为非退化的； 注： n 级方阵 A 非退化 = R A n A ( ) 0 ； n 级方阵 A 退化 = R A n A ( ) 0. 设 A 为数域 P 上的 n 级方阵， 二、非退化矩阵
推论设A.B为数域P上的n级矩阵，则AB非退化 台A,B都非退化（AB退化台A或B退化）证：AB非退化AB0A|B0台A0且B0A,B都非退化84.3矩阵乘积的行列式与秩
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩 推论 设 A B, 为数域 P 上的 n 级矩阵，则 AB A B 非退化 , 都非退化 证： ( AB A B 退化 或 退化 ) AB AB 非退化 0 A B 0 A B 0 0 且 A B, 都非退化
三、矩阵乘积的秩定理2设Anxm,Bmxs为数域P上的矩阵，则R(AB)≤min(R(A),R(B))证: 令 A=(a,)mm,B=(b,)mxs, AB=C=(cj)nxs设B的行向量组为B,,Bm，C的行向量组为CiC,则向量组合a,B,+aiz2B,++aimBm(atbu +azb21 +...+aimbm1,..,abi, +a,zb2 +...+aimbms)84.3矩阵乘积的行列式与秩AP
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩 三、矩阵乘积的秩 定理2 设 A B n m m s , 为数域 P 上的矩阵，则 R AB R A R B ( ) min ( ), ( ) . ( ) 证： 令 ( ) , ( ) , ( ) . A a B b AB C c = = = = ij n m ij m s ij n s 设 的行向量组为 1 , , , B B Bm 1 , , . C Cn C 的行向量组为 则向量组合 i i im m 1 1 2 2 a B a B a B + + + = + + + + + + (a b a b a b a b a b a b i i im m i s i s im ms 1 11 2 21 1 1 1 2 2 , , )
即有a,B,+a,B,+..+aimB(Zaxbeawba.. axbs=(ci,Ci2,"",Cis)=C,,i=1,2,...,n故C,C2,,C,可由B,Bz,…,Bm线性表示.所以 R(C)≤ R(B) 。 同理，R(C)≤R(A).:. R(AB)≤min(R(A),R(B)4.3矩阵乘积的行列式与秩V
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩 即有 1 2 1 1 1 , , , , n n n ik k ik k ik ks k k k a b a b a b = = = = i n = 1,2, , i i im m 1 1 2 2 a B a B a B + + + = (c c c i i is 1 2 , , , ) , = Ci 故 C C C 1 2 , , , n 可由 B B B 1 2 , , , m 线性表示. 所以 R C R B ( ) ( ) ． 同理， R C R A ( ) ( ). R AB R A R B ( ) min ( ), ( ) . ( )
三、矩阵乘积的秩定理2设Anxm,Bmxs为数域P上的矩阵，则R(AB)≤ min(R(A), R(B))推广如果A=AAA，则R(A) ≤min(R(A), R(A),..., R(A))84.3矩阵乘积的行列式与秩A
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩 三、矩阵乘积的秩 定理2 设 A B n m m s , 为数域 P 上的矩阵，则 R AB R A R B ( ) min ( ), ( ) . ( ) 推广 如果 A A A A = 1 2 t ，则 1 2 ( ) min{ ( ), ( ), , ( )}. R A R A R A R A t
例1.设A为n级方阵，且AA'=E，A<0,证明：A+E|=0.证: A+E| =|A+AA|=A(E+A) =A|E+A=A(E+A)|=A|E+A又由 AA'=E，有 [A"=1，而 |A|<0,：[A|=-1， 于是有[A+ E| = -[A+ E],所以 |A+E|=0.84.3矩阵乘积的行列式与秩福
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩 AA E A = , 0, 证明： 例1．设A为n级方阵，且 A E+ = 0. 证： A E+ = + A AA = + A E A ( ) = + A E A = + A E A ( ) = + A E A 又由 AA E = , 有 2 A = 1, 而 A 0, = − A 1, 于是有 A E A E + = − + , 所以 A E+ = 0