第六章线性空间S5线性子空间S1集合·映射86子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标s8线性空间的同构S4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
S6.8线性空间的同构一、同构映射的定义二、同构的有关结论86.8线性空间的同构
§6.8 线性空间的同构 一、同构映射的定义 二、同构的有关结论 §6.8 线性空间的同构
引入我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后，v中每一个向量α有唯一确定的坐标(a,az,,a,)，向量的坐标是P上的n元数组，因此属于Pn这样一来，取定了V的一组基6j,82,,6n，对于V中每一个向量α，令α在这组基下的坐标（ai,az，",an)与α对应，就得到v到P"的一个单射 ：V→P"，α→(a,az,,an)反过来，对于pn中的任一元素（aj,a2,,an),α=8a+&az+.+8nan是V中唯一确定的元素，并且(α)=(a,az,,n),即也是满射因此，α是V到Pn的一一对应。86.8线性空间的同构区区
§6.8 线性空间的同构 我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后， V中每一个向量 有唯一确定的坐标 向量的 坐标是P上的n元数组，因此属于P n . 这样一来，取定了V的一组基 对于V中每一个 向量 ，令 在这组基下的坐标 与 对应，就 得到V到P n的一个单射 反过来，对于P n 中的任一元素 是V中唯一确定的元素， 并且 即 也是满射. 因此， 是V到 P n 的一一对应. 引 入 1 2 ( , , , ), n a a a 1 2 , , , , n 1 2 ( , , , ) n a a a 1 2 : , ( , , , ) n V P a a a → n 1 2 ( , , , ), n a a a 1 1 2 2 n n = + + + a a a 1 2 ( ) ( , , , ), n = a a a
这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上，任取 α,βeV,设α=ae, +a,e2 +..+anen, β=be +be,+...+bnen则 o(α)=(ar,az .",an), o(β)=(b,b2,"",bn)从而 o(α+β)=(a, +bi,a, +b,."",an+bn)=(a,a,..,an)+(b,,b2,...,b) = o(α)+o(β)Vkepo(kα) =(kaj,ka, .,kan)= k(a,a, ..,an) = ko(α),这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以归结为它们的坐标的运算6.8线性空间的同构
§6.8 线性空间的同构 这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上. 任取 , , V 设 1 2 ( ) ( , , , ) n = b b b 1 1 2 2 , n n = + + + a a a 1 1 2 2 n n = + + + b b b 1 2 ( ) ( , , ), n 则 = a a a 1 1 2 2 ( ) ( , , ) n n + = + + + a b a b a b 1 2 ( ) ( , , ) n k ka ka ka k P = 归结为它们的坐标的运算. 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以 1 2 1 2 ( , , ) ( , , , ) ( ) ( ) n n = + = + a a a b b b 1 2 ( , , ) ( ), n = = k a a a k 从而
一、同构映射的定义设V,V'都是数域P上的线性空间，如果映射o：V→V具有以下性质：i）为双射Vα,βeVi) α(α+β)=α(α)+α(β),ii) α(kα)=ko(α),VkeP,Vαev则称α是V到V"的一个同构映射，并称线性空间V与V'同构，记作V=V.86.8线性空间的同构区区
§6.8 线性空间的同构 一、同构映射的定义 设 V V, 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V → 具有以下性质： 则称 是V V 到 的一个同构映射，并称线性空间 V V 与 同构，记作 V V . ii) ( ) ( ) ( ), , + = + V iii) (k k k P V ) = ( ), , i) 为双射
例1、V为数域P上的n维线性空间，8,&2，,8为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应o: V-→pn,VαeVαH(a,az,",an)这里(a,a,..,a,)为α在,2,...,,基下的坐标，就是一个V到Pn的同构映射，所以V=Pn86.8线性空间的同构V
§6.8 线性空间的同构 为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应 例1、V为数域P上的n维线性空间， 1 2 , , , n : , n V P → 1 2 ( , , , ) n a a a V 这里 ( , , , ) a a a 1 2 n 为 在 1 2 , , , n 基下的坐标， 就是一个V到Pn的同构映射，所以 . n V P
二、同构的有关结论1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构2、设V,V'是数域P上的线性空间，α是V到V"的同构映射，则有α(0)=0, α(-α)=-α(α)2)(kα +k,α, +...+k,α,)= k,o(α)+ k,o(α,)+... +k,o(α,),α,eV, k,eP, i=1,2,..,r.$6.8线性空间的同构K
§6.8 线性空间的同构 1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构. 二、同构的有关结论 同构映射，则有 1） (0 0, . ) = − = − ( ) ( ) 2、设 V V, 是数域P上的线性空间， 是V V 到 的 2） 1 1 2 2 ( ) r r k k k + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ), r r = + + + k k k , , 1,2, , . i i = V k P i r
3）V中向量组α，α2，,α,线性相关（线性无关）的充要条件是它们的象α(α,),α(α,),,(α)线性相关（线性无关）：dimV = dimV'.5）：V→V的逆映射-1为V'到V的同构映射.若W是V的子空间，则W在α下的象集o(W) = (o(α)α = W)是的V子空间，且 dimW=dimo(W)86.8线性空间的同构人
§6.8 线性空间的同构 线性相关（线性无关）. 3）V中向量组 1 2 , , , r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 1 2 ( ), ( ), , ( ) r 4） dim dim . V V = 5） ：V V → 的逆映射 为 的同构映射. 1 − V V 到 是的 V 子空间，且 dim dim ( ). W W = ( ) { ( ) } W W = 6） 若W是V的子空间，则W在 下的象集
证：1）在同构映射定义的条件i)α(kα)=ko(α)中分别取 k=0与k=-1,即得α(0)=0, (-α)=-α(α)2）.这是同构映射定义中条件i)与ii)结合的结果3) 因为由 k,α +k,α, +...+k,α,=0可得 k,(α)+k,o(α,)+...+k,o(α,)=0反过来， 由 ko(α)+k,o(α,)++k,o(α,)=0可得 o(k,α, +k,α, +...+k,α,)= 086.8线性空间的同构区区
§6.8 线性空间的同构 中分别取 k k = = − 0 1, 与 即得 (0 0, ) = − = − ( ) ( ) 证： 1）在同构映射定义的条件iii) (k k ) = ( ) 2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果. 3）因为由 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = 可得 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 r r k k k + + + = 反过来，由 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 r r k k k + + + = 可得 1 1 2 2 ( ) 0. r r k k k + + + =
而是一一对应，只有 (0)=0.所以可得 kα, +k,α,+...+k,α,=0.因此，α,αz,…,α,线性相关（线性无关）台α(α),α(α),,α(α,）线性相关（线性无关）设dimV=n，8,&2,,,为V中任意一组基40由2）3）知,(8),(82),,(8n)为α的一组基所以 dimV"= n=dimV.86.8线性空间的同构V
§6.8 线性空间的同构 而 是一一对应，只有 (0) 0. = 所以可得 1 1 2 2 0. r r k k k + + + = 因此， 1 2 , , , r 线性相关（线性无关） 1 2 ( ), ( ), , ( ) r 线性相关（线性无关）. 4）设 为V 中任意一组基. 1 2 dim , , , , V n n = 由2）3）知， ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 为 的一组基. 所以 dim dim . V n V = =