第八章入一矩阵S1入一矩阵S4矩阵相似的条件82入一矩阵的S5矩阵相似的条件标准形s6若当(Jordan）标准形S3不变因子的理论推导小结与习题
§2 λ－矩阵的 标准形 §3 不变因子 §1 λ－矩阵 §4 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 的理论推导 §5 矩阵相似的条件 小结与习题 第八章 λ─矩阵
s8.1 入一矩阵一、入一矩阵的概念二、入一矩阵的秩三、可逆入一矩阵S8.1入一矩阵A
§8.1 λ─矩阵 一、λ－矩阵的概念 二、λ－矩阵的秩 §8.1 λ─矩阵 三、可逆λ－矩阵
一、入一矩阵的概念定义：设P是一个数域，是一个文字，P[a]是多项式环，若矩阵A的元素是α的多项式，即P[α]的元素，则称A为α一矩阵，并把A写成A(a)注：①：PcPal，：数域P上的矩阵一数字矩阵也是一矩阵.8.1入一矩阵P
§8.1 λ─矩阵 定义： 若矩阵A的元素是 的多项式，即 P[ ] 的元素，则 设P是一个数域， 是一个文字， P[ ] 是多项式环， 称A为 ―矩阵，并把A写成 A( ). 一、λ－矩阵的概念 注： ① P P [ ], ∴ 数域P上的矩阵—数字矩阵也 是 ―矩阵
②入一矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算其定义与运算规律与数字矩阵相同，③对于n×n的a一矩阵，同样有行列式lA(a)l它是一个入的多项式，且有[A(2)B(2) |=| A(2) I/B(2)] .这里A(2),B(a)为同级α一矩阵,④与数字矩阵一样，入一矩阵也有子式的概念，几一矩阵的各级子式是几的多项式，88.1入一矩阵区区
§8.1 λ─矩阵 其定义与运算规律与数字矩阵相同. ③ 对于 n n 的 ―矩阵，同样有行列式 | ( ) |, A 它是一个 的多项式，且有 | ( ) ( ) | | ( ) || ( ) | . A B A B = 这里 A B ( ), ( ) 为同级 ―矩阵. ④ 与数字矩阵一样， ―矩阵也有子式的概念. ―矩阵的各级子式是 的多项式. ② ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算
二、入一矩阵的秩定义：若一矩阵A(2)中有一个r(r≥1)级子式不为零而所有r+1级的子式（若有的话）皆为零，则称A(a)的秩为r.零矩阵的秩规定为088.1入一矩阵V
§8.1 λ─矩阵 若 ―矩阵 A( ) 中有一个 r r( 1) 级子式不为零， 而所有 r + 1 级的子式（若有的话）皆为零，则称 A( ) 的秩为r . 二、λ－矩阵的秩 定义： 零矩阵的秩规定为0
三、可逆入一矩阵定义：一个n×n的一矩阵 A()称为可逆的，如果有一一个nxn的一矩阵 B(a)，使A(2)B(2) = B(2)A(2) = E这里E是n级单位矩阵称 B(a)为 A(a)的逆矩阵(它是唯一的)，记作A-'(a).88.1入一矩阵
§8.1 λ─矩阵 三、可逆λ－矩阵 一个 n n 的 ―矩阵 A( ) 称为可逆的，如果有一 A B B A E ( ) ( ) ( ) ( ) = = 一个 n n 的 ―矩阵 B( ) ，使 定义： 这里E是n级单位矩阵. 称 B( ) 为 A( ) 的逆矩阵(它是唯一的)，记作 1 A ( ). −
判定：（定理1）一个n×n 的一矩阵A(a)可逆台A()是一个非零常数,证：“→”若A()可逆，则有B()，使A(2)B(2) = E两边取行列式，得[A(2)B(2)=|A(2)[B(2) =|E|=1：[A(a),|B(a)都是零次多项式，即为非零常数8.1入一矩阵区区
§8.1 λ─矩阵 （定理1） 一个 n n 的 ―矩阵 A( ) 可逆 A( ) 是一个非零常数. 证: “ ” 若 A( ) 可逆，则有 B( ) ，使 A B E ( ) ( ) = 两边取行列式，得 A B A B E ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = = = A B ( ) , ( ) 都是零次多项式，即为非零常数. 判定：
“←”设 |A(a)=d是一个非零常数.A*(a)为A(a)的伴随矩阵，则A(2)A(a)=A(a)A(a)= E0dA-'(a)==A*(a).. A(a)可逆.S8.1入一矩阵A
§8.1 λ─矩阵 “ ” 设 A d ( ) = 是一个非零常数. A ( ) 为 的伴随矩阵，则 A( ) 1 1 A A A A E ( ) ( ) ( ) ( ) d d = = A( ) 可逆. 1 1 A A ( ) ( ). d − =