西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.4 特征值与特征向量

第七章线性变换S6线性变换的值域与核S1线性变换的定义S2线性变换的运算S7不变子空间s3线性变换的矩阵S8若当标准形简介S4特征值与特征向量89最小多项式s5对角矩阵小结与习题

§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵

s 7.4特征值与特征向量一、特征值与特征向量二、特征值与特征向量的求法三、特征子空间四、冬特征多项式的有关性质87.4特征值与特征向量

§7.4 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的求法 §7.4 特征值与特征向量 三、特征子空间 四、特征多项式的有关性质

引入有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质，希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵，从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵？67.4特征值与特征向量K

§7.4 特征值与特征向量 从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵? 引入 有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质

一、特征值与特征向量定义：设α是数域P上线性空间V的一个线性变换若对于P中的一个数α，存在一个V的非零向量，使得0()= ,则称,为的一个特征值，称为α的属于特征值2.的特征向量87.4特征值与特征向量V

§7.4 特征值与特征向量 设  是数域P上线性空间V的一个线性变换， 则称 0 为  的一个特征值，称  为  的属于特征值 0     ( ) , = 一、特征值与特征向量 定义： 若对于P中的一个数 存在一个V的非零向量  , 0  , 使得 的特征向量. 0

注：①几何意义：特征向量经线性变换后方向保持相同(>0)或相反(<0). =0 时，()=0.②若5是的属于特征值孔的特征向量，则k（kεP,k≠0)也是的属于,的特征向量( : o(k) =ko()=k()=,(k) )由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若 ()= 且()= ， 则 = :87.4特征值与特征向量

§7.4 特征值与特征向量 ① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持 由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， ( ) 0 0         ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k = = = 注： 相同 ( 0) 0  或相反 0 ( 0).   0  = 0 , 时  ( ) = 0. ② 若  是  的属于特征值 0 的特征向量，则 k k P k  ( , 0)   也是  的属于 0 的特征向量. 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即 若       ( ) ( ) = = 且 ，则   =

二、特征值与特征向量的求法分析：设dimV=n，Sj,82,",8n是V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为A设 ,是的特征值，它的一个特征向量在基X0161,82，8n下的坐标记为Xon0则（)在基81,82,,8n下的坐标为AXon7.4特征值与特征向量V

§7.4 特征值与特征向量 设 dim , , , , V n =    1 2 n 是V的一组基， 线性变换  在这组基下的矩阵为A. 1 2 , , , n    下的坐标记为 01 0 , n x x         二、特征值与特征向量的求法 分析： 设 0 是  的特征值，它的一个特征向量  在基 则  ( ) 在基 下的坐标为 01 0 , n x A x         1 2 , , , n   

(X01又 α()= α：而的坐标是 (Xon)XoXo1:= 2:= 0.从而(a,E-A)于是AXonXon)Xon)Xo1即:是线性方程组(,E-A)X =0 的解(Xon)Xo1.#0，：(2,E-A)X=0有非零解,又#0,Xon所以它的系数行列式2,E-A=0.7.4特征值与特征向量A

§7.4 特征值与特征向量 而  0 的坐标是 01 0 0 , n x x          0 01 01 0 0 , n n x x A x x          =         于是 0 又     ( ) = 0 01 0 ( ) 0. n x E A x    − =       从而 01 0 0, 0, n x x             又 即 是线性方程组 的解， 01 0n x x         0 ( ) 0  E A X − = ∴ ( ) 0 0E A X − = 有非零解. 所以它的系数行列式 0  E A− = 0

以上分析说明：若是的特征值，则,E-A=0.反之，若,EP满足a,E-A=0,则齐次线性方程组(a,E-A)X=0有非零解若(xo1,Xo2,,Xon)是(a,E-A)X =0 一个非零解,则向量=x+.+x，就是的属于的一个特征向量.87.4特征值与特征向量A

§7.4 特征值与特征向量 以上分析说明： 若 是 的特征值，则 0  E A− = 0. 0  反之，若 0  P 满足 0  E A− = 0, 则齐次线性方程组 有非零解. 0 ( ) 0  E A X − = 若 ( , , , ) x x x 01 02 0n  是 ( ) 0 0E A X − = 一个非零解， 特征向量. 则向量    = + + x x 01 1 0n n 就是  的属于 0 的一个

1.特征多项式的定义设Ａpxn，是一个文字，矩阵aE－Ａ称为A的特征矩阵，它的行列式-a.-a,..-a.-a -an .-azn≤f (a)[E- A|=-a. -an ... -a..称为A的特征多项式，（f(a)是数域P上的一个n次多项式）67.4特征值与特征向量区区

§7.4 特征值与特征向量 设 , 是一个文字，矩阵 称为 n n A P    E A − 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ( ) n n n n nn A a a a a a a E A a a a f      − − − − − − − = − − −  称为A的特征多项式. 1. 特征多项式的定义 A的特征矩阵，它的行列式 （ fA ( )  是数域P上的一个n次多项式）

注：①若矩阵A是线性变换θ关于V的一组基的矩阵，而,是α的一个特征值，则,是特征多项式f(a)的根，即 f.(a)=0.反之，若,是A的特征多项式的根，则,就是α的一个特征值。（所以，特征值也称特征根.）②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值而相应的线性方程组（aE-A)X=0 的非零解也就称为A的属于这个特征值的特征向量，7.4特征值与特征向量区区

§7.4 特征值与特征向量 ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 注：① 若矩阵A是线性变换  关于V的一组基的矩阵， 而 0 是  的一个特征值，则 是特征多项式 ( ) A 0 f  的根，即 0 ( ) 0. A f  = 的一个特征值. 反之，若 0 是A的特征多项式的根，则 0 就是  （所以，特征值也称特征根.） 而相应的线性方程组 ( ) 0 E A X − = 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量