第八章入一矩阵S1入一矩阵S4矩阵相似的条件S2入一矩阵的S5矩阵相似的条件标准形s6若当(Jordan）标准形S3不变因子的理论推导小结与习题
§2 λ－矩阵的 标准形 §3 不变因子 §1 λ－矩阵 §4 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 的理论推导 §5 矩阵相似的条件 小结与习题 第八章 λ─矩阵
$ 8.4矩阵相似的条件定理：数字矩阵A,B相似台aE-A与aE-B等价88.4矩阵的相似
§8.4 矩阵的相似 §8.4 矩阵相似的条件 定理： 数字矩阵 A B E A E B , 相似 − − 与 等价
引理1：设P为数域 A,Bpnn,若有 P,2,pxn使E-A= P(aE-B)Ωo1则A与B相似.证： 由 P(αE-B)Q =PEQ-P,BQo=PQ-P,BQ =E-A得PQ=E,P,BQ=A即 P,=Q-，A=Q-"BQ．：A与B相似88.4矩阵的相似A
§8.4 矩阵的相似 设P为数域 A B P , , n n 若有 0 0 , ， n n P Q P 则A与B相似. 证：由 ( ) P E B Q 0 0 − = − P Q P BQ 0 0 0 0 = − E A 得 0 0 0 0 P Q E P BQ A = = , 即 1 0 0 P Q , − = 引理1： ( ) 使 E A P E B Q − = − 0 0 ① ∴ A与B相似. 1 0 0 A Q BQ . − = = − P EQ P BQ 0 0 0 0
引理2：对任意 A pnxn及任意-矩阵U(a),V(a)一定存在-矩阵 Q(a),R(a)及 U,Ve pmn使 U(a)=(aE-A)Q(a)+U.2V(a)= R(a)(aE- A)+V388.4矩阵的相似
§8.4 矩阵的相似 对任意 A P n n 及任意 -矩阵 U V ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) 使 U E A Q U = − + 0 ② ( ) ( )( ) V R E A V = − + 0 ③ 一定存在 -矩阵 Q R ( ), ( ) 及 0 0 , , n n U V P 引理2：
证: 设 U(a)=D,a"+D,am-1 +..+Dm-ia+Dm,这里 D,D,..,DmE Pnxn, 且 D, +0.i) 若m=0,则令 Q(a)=0,U。=D.ii）若 m>0，设Q(2) =2,am-1 +Q,am-2 + ...+ Qm-2a +Qm-1,这里Q;εPxn为待定矩阵．于是(aE - A)Q(a)= Q,a" +(Q, - AQ.)am- +..+(Qx - AQk-1)am-k + ..+(Qm-1 - AOm-2)a - AQm-188.4矩阵的相似A
§8.4 矩阵的相似 证： 这里 0 1 , , , , 且 n n D D D P m 0 D 0. ( ) 1 0 1 1 , m m U D D D D m m − 设 = + + + + − i) 若 m = 0, 则令 ( ) 0 0 Q U D = = 0, . ii）若 m 0, 设 1 2 0 1 2 1 ( ) , m m Q Q Q Q Q m m − − = + + + + − − 这里 为待定矩阵. n n Q P i 于是 ( ) 1 0 1 0 m m Q Q AQ − = + − + ( 1 1 2 1 ) ( ) m k Q AQ Q AQ AQ k k m m m − + − + + − − − − − − ( E A Q − ) ( )
要使①式成立，只需取Q. = DoQ. = D.Q - AQ. = DQ = D, + AQ0Qk- AQk-1 = Dk即Q= D, + AQkQm-1 - AQm-2 = DnQm-1 = Dm-1 + AQm-2-AQm-1 +U. = DmU, = D.m+ AQm-1即可.同理可证②88.4矩阵的相似V
§8.4 矩阵的相似 要使①式成立，只需取 0 0 1 0 1 1 1 2 1 1 0 k k k m m m m m Q D Q AQ D Q AQ D Q AQ D AQ U D − − − − − = − = − = − = − + = 即 0 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 k k k m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ − − − − − = = + = + = + = + 即可. 同理可证②
定理：设 A,Be pxn，则A与B相似台特征矩阵E-A与αE-B等价.证："→”若A与B相似，则存在可逆矩阵T，使A= T-'BT.于是aE-A=E-T-BT=T-1(E-B)T由定理6之推论，得aE-A与^E-B等价.S8.4矩阵的相似一
§8.4 矩阵的相似 设 , ，则A与B相似 n n A B P 特征矩阵 E A − 与 E B− 等价. 定理： 证： " " 若A与B相似，则存在可逆矩阵T， 于是 ( ) 1 T E B T − = − 由定理6之推论，得 E A − 与 E B− 等价. 1 A T BT. − 使 = E A − 1 E T BT − = −
"←若aE-A与E-B等价，则存在可逆 一矩阵U(),V()，使aE-A=U(2)(aE-B)V(2).4由引理2，对于A,U(a),V(a)存在一矩阵 Q(a),R(a)及U,V pn, 使U(a) =(aE - A)Q(a)+U.?V(2)= R(a)(aE - A)+V?88.4矩阵的相似
§8.4 矩阵的相似 " " 若 E A − 与 E B− 等价， 则存在可逆 －矩阵 U V ( ), ( ) ，使 E A U E B V − = − ( )( ) ( ). ④ R( ) 及 0 0 , ，使 n n U V P 由引理2，对于A， U V ( ), ( ) 存在 －矩阵 Q( ), ( ) ( ) ( ) U E A Q U = − + 0 ⑤ ( ) ( )( ) V R E A V = − + 0 ⑥
由④，有U(2)-(aE-A)=(aE-B)V(2)=(aE -B)[R(a)(aE - A)+V]即,[U(a)" -(E-B)R(2)](E-A)=(E-B)V比较两端，得T=U(a)--(aE-B)R(a)e pmxn?T(E-A)=(E-B)V8S8.4矩阵的相似区区
§8.4 矩阵的相似 由④，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U E A E B V − − = − ( ) ( )( ) E B R E A V0 = − − + 即， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U E B R E A E B V 0 − − − − = − 比较两端，得 ( ) ( ) ( ) 1 n n T U E B R P − = − − ⑦ ( ) ( ) T E A E B V − = − 0 ⑧
下证T可逆，由有, U(a)T=E-U(a)(aE-B)R(a)E =U(a)T+U(a)(aE-B)R(a)即=U(2)T+(aE - A)V(2)" R(a)[(aE - A)Q(a)+U.]T +(E - A)V(2)" R(2)=U,T +(aE -A)[0(a)+V(a)" R(a)比较两端，得(E - A) Q(a)+V(a)" R(a) = 08.4矩阵的相似区区
§8.4 矩阵的相似 下证T可逆. 由⑦有， U T E U E B R ( ) = − − ( )( ) ( ). 即 E U T U E B R = + − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U T E A V R − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 E A Q U T E A V R 0 − = − + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U T E A Q V R 0 − = + − + 比较两端，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 E A Q V R 0 − − + =