西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第九章 欧氏空间 9.4 正交变换

第九章欧氏空间s6对称矩阵的标准形S1定义与基本性质S2标准正交基s7向量到子空间的距离一最小二乘法83同构S8酉空间介绍S4正交变换小结与习题S5子空间

§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间

S 9.4正交变换一、一般欧氏空间中的正交变换二、n维欧氏空间中的正交变换9.4正交变换

§9.4 正交变换 一、一般欧氏空间中的正交变换 §9.4 正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换

一、一般欧氏空间中的正交变换1.定义欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变即，(α(α),α(β))=(α,β),Vα,βV则称为正交变换注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广89.4正交变换区区

§9.4 正交变换 一、一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 即 ， (     ( ), ( ) ( , ), ) =     , V 欧氏空间V的线性变换  如果保持向量的内积不变， 则称  为正交变换. 注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广

2.欧氏空间中的正交变换的刻划（定理4）设α是欧氏空间V的一个线性变换下述命题是等价的：1）是正交变换；2）α保持向量长度不变，即[α(α)| =[αl,VαeV;3）α保持向量间的距离不变，即Vα,βeVd(o(α),o(β)=d(α,β),9.4正交变换区区

§9.4 正交变换 2.欧氏空间中的正交变换的刻划 下述命题是等价的： （定理4）设  是欧氏空间V的一个线性变换. d d V (        ( ), ( ) , , , ) =   ( ) 3）  保持向量间的距离不变，即 2）  保持向量长度不变，即 1）  是正交变换；     ( ) , ; =  V

证明：首先证明1)与2)等价，1)=2)：若α是正交变换，则((α),α(α))= (α,α), Vα V即，(α)=a[o(α)|=αl, VαeV,两边开方得，2)=→1)：若α保持向量长度不变，则对Vα,βeV(1)有，(α(α),o(α)) = (α,α),(α(β),α(β)=(β,β),(2)$9.4正交变换

§9.4 正交变换 证明：首先证明1)与2)等价． 1) 2) :  即， 2 2    ( ) = (      ( ), ( ) ( , ), ) =   V 两边开方得，     ( ) , , =  V 若  是正交变换，则 2) 1) :  有， (      ( ), ( ) ( , ) ) = , (1) (      ( ), ( ) ( , ), ) = (2) 若  保持向量长度不变，则对    , V

(3)(α(α+ β),o(α+ β))=(α+β,α+β),把(3)展开得，(α(α),(α) + 2(α(α),α(β))+(α(β),(β)=(α,α)+2(α,β)+(β,β)再由(1)(2)即得,(α(α),α(β)=(α, β)α是正交变换$9.4正交变换区区

§9.4 正交变换 把(3)展开得， (            ( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( ) ) + + ( ) ( ) = + + ( , ) 2( , ) ( , )       再由(1)(2)即得， (      ( ), ( ) ( , ) ) = (          ( ), ( ) ( , ), + + = + + ) (3)   是正交变换．

再证明2)与3)等价。2)=3): α(α)-α(β)=(α-β):: d(o(α),o(β))=o(α)-α(β)（根据2））=|o(α-β) =[α- βl=d(α,β)故3）成立。3)=→2): 若 d(α(α),o(β))=d(α,β), Vα,βeV则有， d(o(α),(0)=d(α,0), VαV故2）成立。即，(α)=αl,αV.9.4正交变换区区

§9.4 正交变换 再证明2)与3)等价． 3) 2) :  2) 3) :         ( ) ( ) ( ), − = − = −   ( 根据２） )  = − d (        ( ), ( ) ( ) ( ) ) = −    ( ) = d( , )   故 3）成立. 若 d d V (        ( ), ( ) , , , ) =   ( ) 则有， d d V (     ( ), (0) ,0 , ) =   ( ) 即，     ( ) , . =  V 故 2）成立

二、n维欧氏空间中的正交变换1.n维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基不变的线性变换1)若是n维欧氏空间V的正交变换，8,82,8是V的标准正交基，则(),α(2),,(cn)也是V的标准正交基事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质i=j即有， (o(6),o(8)=(6),8)=(0itj9.4正交变换

§9.4 正交变换 二、 n 维欧氏空间中的正交变换 1. n 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基 不变的线性变换． 是V的标准正交基，则       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 也是V 的标准正交基. 1).若 是 n 维欧氏空间V的正交变换， 1 2 , , , n     事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质 ( )  1 ( ), ( ) ( , ) i j i j 0 i j i j       = = = 即有， 

2).若线性变换使V的标准正交基81,62,8n变成标准正交基(s),α(),,α(n），则为V的正交变换.证明：任取α,βeV，设α=Xe+X82+..Xnenβ= Jie1 + y262 +..- ynen?由81,62，,6n为标准正交基，有(α,β)=Zxijii=189.4正交变换A

§9.4 正交变换 2).若线性变换  使V的标准正交基    1 2 , , , n 变成 变换． 标准正交基       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n ，则  为V的正交 1 1 2 2 n n     = + + x x x 1 1 2 2 , n n     = + + y y y 证明：任取  , , V 设 由    1 2 , , , n 为标准正交基，有 1 ( , ) n i i i   x y = = 

又 (α)=x,o(s,),(β)=Zy,o(8)i-1由于α(),α(,),,(c,)为标准正交基，得(o(α),0(β)=Zx,y;:. (o(α),o(β))=(α,β)故是正交变换。$9.4正交变换

§9.4 正交变换 ( ) 1 ( ), ( ) n i i i     x y = =  故  是正交变换． 1 ( ) ( ) n j j j     y = ( ) ( ), 1 =  n i i i     x = 又 =   = (      ( ), ( ) ( , ) ) 由于       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 为标准正交基，得