西安毛子科技大学数学与统计学院XIDIAN UNIVERSITYSchool of mathemnties andstatistics高等数学第·节函数的连续性与间断点
第八节 函数的连续性与间断点
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIAN UNIVERSITY、函数的连续性变到u21.增量设变量u从u称 △u= -u为变量u的增量 =u +u若△u>O，则u,>u，变量是增大的;若△u<O，则u，变量是减小的
函数的连续性与间断点 1.增量 设变量 u 从 1 u 2 u 变到 2 1 = u u u − 为变量 u 的增量 则 u u 2 1 ， 变量是增大的； 变量是减小的. 一、函数的连续性 若 u 0 ，则 u u 2 1 ， 若 u 0 ， 称 2 1 u u u = +
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIANUNIVERSITY函数的增量设函数y=f(x)在点x。的某一邻域内有定义变到J当x从xXo+Axy= f(x)f(x +Ax)△y变到f(xo)f(x) 从f(x)Axf(x +△x)olXoXo+Axx称△y=f(x。+△x)-f(x）为函数的增量如果△x→0时，△y→0,称=f(x)在点x处是连续的
函数的连续性与间断点 设函数 y f x = ( ) 在点 0 x 的某一邻域内有定义 x 从 0 x 变到 当 0 x x + f x( ) 从 0 f x( ) 变到 0 f x x ( ) + 0 0 称 = y f x x f x ( ) ( ) + − 为函数的增量. O x y y f x = ( ) 0 x x + 0 x 0 f x x ( ) + 0 f x( ) x y 如果 →x 0 时， →y 0, 称 y f x = ( ) 在点 0 x 处是连续的. 函数的增量
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIAN UNIVERSITY2．函数在一点的连续性定义1 设函数y=f(x)在点 x的某一邻域内有定义，如果lim Ay=0 或 lim[f(x +△x)-f(x)]= 0就称函数y=f(x)在点x。处连续lim[(x0 +Ax)-(x0)= 0 设x=$ +lim f(x)= f(xo)X>x定义1’设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义，如果lim f(x)= f(xo)就称函数y=f(x)在点x处连续8-8定义>0,3>0, 当x-x8 时，有|f(x)-f(x)<8
函数的连续性与间断点 2. 函数在一点的连续性 设函数 y f x = ( ) 在点 0 定义1 x 的某一邻域内有定义，如果 0 lim 0 x y → = 就称函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处连续.0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 x f x x f x → 或 + − = 设 0 x x x = + 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 0, 0, 0 f x f x ( ) ( ) − 0 当 x x − 时，有 − 定义 0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 x f x x f x → + − = 设函数 y f x = ( ) 在点 0 定义1’ x 的某一邻域内有定义，如果 就称函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处连续. 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → =
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIANUNIVERSITY如果定义2如果lim f(x)= f(x)lim f(x) = f(xo),F称y=f(x)在点x左连续；称y=f(x)在点x右连续即即f(x)=f(x),f(x)=f(x),→ f(x)= f(x)= f(x)定理函数f(x)在点x连续食
函数的连续性与间断点 定义2 如果 0 0 lim ( ) ( ), x x f x f x → − = 称 y f x = ( ) 在点 0 x 左连续； 如果 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → + = 称 y f x = ( ) 在点 0 x 右连续. 定理 0 0 0 f x f x f x ( ) ( ) ( ) − + 函数 f x( ) 在点 x0 连续 = = 0 0 f x f x ( ) ( ), − 即 = 0 0 f x f x ( ) ( ), + 即 =
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIANUNIVERSITS注，函数y=f(x)在点x连续必须满足三个条件1）函数在 x处有定义；即f(x）存在2）极限limf(x)存在;3) lim f(x)= f(xo)x-x缺一不可！！！
函数的连续性与间断点 函数 y f x = ( ) 在点 0 注 x 连续必须满足三个条件 2）极限 0 lim ( ) x x f x → 存在； 1）函数在 0 x 处有定义；即 f x( )0 存在. 3） 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → =
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIAN UNIVERSITY3.函数在区间上的连续性定义3若函数f(x)在区间I上每一点都连续，就称该函数在区间I上连续，或者说函数是区间上的连续函数函数f(x)在闭区间[α,b]上连续是指：在开区间(α,b)内连续在左端点a处右连续，在右端点b处左连续一般地，f(x)在闭区间[a,b]上连续，记作f(x)eC[a,b]连续函数的几何图形是一条连续而不间断的曲线（一笔画）
函数的连续性与间断点 3. 函数在区间上的连续性 或者说函数是区间I上的连续函数. 定义3 若函数 f x( ) 在区间I上每一点都连续, 就称该函数 在区间I上连续， 函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续是指：在开区间 ( , ) a b 内连续， 在左端点 a 处右连续， 连续函数的几何图形是一条连续而不间断的曲线(一笔画)． 在右端点 b 处左连续. 一般地， f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，记作 f x C a b ( ) [ , ]
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIAN UNIVERSITY例1 证明函数f(x)=cos x在区间(-0,+)内连续证VxE(-80,+0)，当x取增量△x时，函数增量△x△xAy = cos(x + △x) - cos x =-2 sin(x +ir22△x△xAx由于0≤|A=-2sin(x+sin29根据夹逼准则可得 lim△y=0，故cosx在(-oo，+o）内连续cosx -cos y=2 sin +sisiny-x类似地可以证明，y= sinx在定义域(-oo,foo)内连续
函数的连续性与间断点 例1 证明函数 证 f x x ( ) cos = 在区间 内连续. 根据夹逼准则可得 − + x ( , ), 由于 ( , ) − + 当 x 取增量 x 时，函数增量 = + − y x x x cos( ) cos 2sin( ) sin 2 2 x x x = − + 2sin( ) sin 2 2 x x y x 0 = − + 2 2 x = x 0 lim 0, x y → = 故 cos x 在 ( , ) − + 内连续. 类似地可以证明， y x = sin 在定义域( , ) − + 内连续. 2 sin 2 x cos cos 2sin sin 2 2 y x y x x y + − − =
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIANUNIVERSITY例如1）有理整函数P(x)=ax"+a,xn-l+..+a,(α≠0)在其定义域(-0,+)内连续；P(x)a.x" +axn-1I+...+an ?(ao±02）有理分式函数R(x)-box" +b,xm-I +...+b (b, ±0Q(x)在其定义域内连续：3）f(x)=x在[0,+)内连续
函数的连续性与间断点 0 0 0 ( , ), lim ( ) ( ) x x x P x P x → − + = 例如 1）有理整函数 1 0 1 0 ( ) ( 0) n n P x a x a x a a n − = + + + 在其定义域 ( , ) − + 内连续； 2）有理分式函数 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) n n n m m m P x a x a x a R x Q x b x b x b − − + + + = = + + + 0 只要 Q x( ) 0 ，就有 0 0 lim ( ) ( ) x x R x R x → = 3） f x x ( ) = 在 [0 , ) + 内连续. 在其定义域内连续； 0 0 0 0 a b
西安毛子科技大学函数的连续性与间断点XIDIAN UNIVERSITY例2 考察函数f(x)=|xl在点 x=0处的连续性-x, x≤0,解函数 f(x)=[x=x,x>0，x=0是函数的分界点。左极限 lim f(x)= lim(-x)=0lim f(x) = 0 = f(0)X0右极限 lim f(x)=lim x=0x-0故函数f(x)=x在点x=0处连续
函数的连续性与间断点 例2 考察函数 解 f x x ( ) = 在点 x = 0 处的连续性. 函数 f x x ( ) = 左极限 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x x → → − − = − , 0, , 0, x x x x − = x = 0 是函数的分界点. = 0 0 lim ( ) 0 (0) x f x f → = = 右极限 0 0 lim ( ) lim 0 x x f x x → → + + = = 故函数 f x x ( ) = 在点 x = 0 处连续