西安毛子科技大学数学与统计学院School ofmathematics and statisticsXIDIAN UNIVERSITY高等数学第五节极限运算法则
第五节 极限运算法则
西安毛子科技大学极限运算法则XIDIAN UNIVERSITY一、极限的四则运算法则定理1 若lim f(x)= A,limg(x)=B，则有(1) lim[f(x)±g(x)= lim f(x)±lim g(x)= A±B;(2) lim[f(x)·g(x))= lim f(x)-limg(x) = AB;则(3)若又有B夫Alim f(x)f(x)limB lim g(x)g(x)
极限运算法则 一、极限的四则运算法则 定理1 若 则有 (1) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) f x g x f x g x A B = = ； lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) f x g x f x g x A B = = ； lim ( ) f x A = ，lim ( ) g x B = ， (2) (3) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) f x f x A g x g x B = = ． 若又有 B 0，则
西安毛子科技大学极限运算法则XIDIANUNIVERSIT证 因 lim f(x)= A,limg(x)=B，则有f(x)=A+α，g(x)=B+β，(其中α,β为无穷小)(1) [f(x)±g(x))=(A±B)+(α±β),此时 α±β是无穷小，因此 lim[f(x)±g(x))=A±B;(2) [f(x)·g(x)]=(A+α)(B+β)= A-B+ Aβ+Bα+αβ,此时Aβ，Bα，αβ都是无穷小，因此 lim[f(x)·g(x))=A·B
极限运算法则 证 因 (其中 ， 为无穷小) 此时 是无穷小， f x A ( ) = + ，g x B ( ) = + ， [ ( ) ( )] ( )+( ) f x g x A B = ， [ ( ) ( )] ( )( ) f x g x A B = + + A B ， ， 都是无穷小， lim ( ) f x A = ，lim ( ) g x B = ， 则有 (1) 因此 = lim[ ( ) ( )] f x g x A B； (2) = + + + A B A B ， 此时 因此 = lim[ ( ) ( )] f x g x A B．
西安毛子科技大学极限运算法则XIDIAN UNIVERSITY定理2若limxn=A，limyn=B，则有(1) lim(x, ±yn)= A±B;n->a(2) lim(xn yn)= AB;(3）当y0(n=1,2,…)且B0时，lim=Bn-→0 Yn注可推广到有限个函数(数列)相加减，相乘的情形
极限运算法则 定理2 若 lim lim n n n n x A y B → → = = ， ， 则有 lim( ) n n n x y A B → = ； lim( ) n n n x y AB → = ； 0 ( 1 2 ) 0 n 当 y n B = ， 且 时，lim n n n x A → y B = ． (1) (2) (3) 注 可推广到有限个函数(数列)相加减，相乘的情形
西安毛子科技大学极限运算法则XIDIANUNIVERSITY推论1 lim[cf(x)]=clim f(x)（c为常数)推论2 lim[f(x)]"=[limf(x)]"（n 为正整数)例1设n次多项式P(x)=a+ax++anx试证 lim P,(x)= P,(xo).x->x证 lim P,(x)=a +a, lim x+.+a,(lim x)"=ao +axo +...+a,x = P,(xo)
极限运算法则 推论1 lim[ ( )] lim ( ) c f x c f x = 推论2 lim[ ( )] [lim ( )] n n f x f x = 例1 设 n 次多项式 试证 0 0 lim ( ) ( ) n n x x P x P x → = ． 证 0 0 0 0 1 lim ( ) lim (lim )n n n x x x x x x P x a a x a x → → → = + + + 0 ( ) = + + + a a x a x 0 1 0 0 n n = P x n ． ( c 为常数 ) ( n 为正整数)
西安毛子科技大学极限运算法则XIDIANUNIVERSITSP(x)其中 P(x),Q(x)都是例2 设有理分式函数R(x)Q(x)多项式，若 Q(x)≠0，试证：lim R(x)=R(x)Xolim P(x)P(x)x>oR(x).证 lim R(x)=Q(x)lim Q(x)x-→>x0x-→>xo-4x+322-4.2+31例如lim5x?-922-9x-2注若Q(x)=0，不能直接用商的运算法则
极限运算法则 例2 设有理分式函数 其中 都是 多项式， 试证： 证 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x P x Q x → → 注 若 不能直接用商的运算法则. 例如 若 ( ) ( ) ( ) ， P x R x Q x = 0 0 lim ( ) ( ) x x R x R x → = ． 2 2 2 2 2 4 3 2 4 2 3 1 lim 9 2 9 5 = x x x → x − + − + = − − ． P x Q x ( ) ( ) , 0 Q x( ) 0 ， 0 Q x( ) 0 = ， 0 lim ( ) x x R x → = 0 0 0 ( ) ( ) ( ) P x R x Q x = = ．
西安毛子科技大学极限运算法则XIDIANUNIVERSITS2x-3例3求limx-=1 x2-5x+4解 lim(x2-5x+4)=0, lim(2x-3)=-1±0,x->10x-5x+42x-3因此lim0,故lim=8.-12x-32-5x+4x-1x->1 xx2-4x+30型例4 求lim消去零因子x2-90x-→321x-1(x-3)(x-1)lim解 原式=lim63x-3 x +3x-3 (x- 3)(x+3)
极限运算法则 解 2 1 lim( 5 4) 0， x x x → − + = 1 lim(2 3) 1 x x → − = − 0， 2 1 5 4 lim 2 3 因此 x x x → x − + − 0 0 1 = = ， − 例3 2 1 2 3 lim 5 4 求 ． x x → x x− − + 2 1 2 3 lim 5 4 故 ． x x → x x− = − + 3 1 lim x 3 x → x − = + 例4 解 3 ( 3)( 1) lim ( 3)( 3) 原式 x x x → x x − − = − + 消去零因子 0 0型
西安毛子科技大学极限运算法则XIDIAN UNIVERSITS/1+ x -1~型未定式例5 求lim0x-0x解(/1+x -1)(/1+x +1)原式=lim-0x(/1+ x +1)x= lim消去零因子x=0 x(/1+ x +1)1= lim2x-→0V1+x+1
极限运算法则 解 例5 0 1 1 求 lim ． x x → x + − 0 ( 1 1)( 1 1) lim ( 1 1) 原式 x x x → x x + − + + = + + 0 1 lim 1 1 x→ x = + + 0 0型 0 lim ( 1 1) x x → x x = + + 消去零因子 1 2 = ． 未定式
西安毛子科技大学极限运算法则XIDIANUNIVERSITY4x2-3x+98天型未定式例6 求 limx-→ 5x2 +2x-18解分子分母同除以x2，得114-3=+94x2-3x+9x24xlim= lim15+215x2 +2x-1x->00x-00x3213x2-2x-1X30lim x例如 lim=0.152x3- x2 +52x->0X0/2+x
极限运算法则 例6 求 解 分子分母同除以 得 2 2 4 3 9 lim x 5 2 1 x x → x x − + + − ． x 2 ， 2 2 2 2 1 1 4 3 9 4 3 9 lim lim 5 2 1 1 1 5 2 x x x x x x x x x x → → − + − + = + − + − 型未定式 4 5 = ． 例如 2 3 2 3 2 1 lim x 2 5 x x → x x − − − + 2 3 3 3 2 1 lim 1 5 2 x x x x x x → − − = − + 0 0 2 = = ．
西安毛子科技大学极限运算法则XIDIAN UNIVERSITY一般有如下结果：当αo,b。≠0，m和n为非负整数时当n>m,0.m-aox-ax.+amao-当n=m,limbo+b,x+...+b.x>b.x'当n<m,8,3x2-2x-14x2-3x+94lim例如 lim0.5-→ 5x2 +2x-1x→0 2 x33-x2+5
极限运算法则 一般有如下结果： 0 0 当 a b m n , 0， 和 为非负整数时 1 0 1 1 0 1 lim m m m n n x n a x a x a b x b x b − → − + + + + + + 0 0 0， 当 ， ， ， ， 当 ， n m a n m b n m = = 2 2 4 3 9 4 lim 5 2 1 5 ， x x x → x x − + = + − 2 3 2 3 2 1 lim 0 2 5 ． x x x → x x − − = − + 例如