西安电子科技大学：《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）第一章 函数与极限 1.3 函数的极限

西安毛子科技大学数学与统计学院XIDIAN UNIVERSITYSchool of mathemnties andstatistics高等数学第三节 函数的极限

第三节 函数的极限

西安毛子科技大学函数的极限XIDIAN UNIVERSITY数列可以看成是函数 x,=f(n)，nεNlimx,=a:当n→oo时，x,=f(n)→a.一般函数=f(x)，xeD在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限

函数的极限 数列可以看成是函数 ( ) n x f = n ， nN+ lim n n x a → = ： ( ) n 当n x f n a →  = → 时， ． 一般函数 y f =  ( ) x ，x D 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近 于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中 函数的极限

西安毛子科技大学函数的极限XIDIANUNIVERSITY一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义1设函数f(x)当x小于某数时有定义，若Vε>0，X>0，当x0, X>0&-X定义当x>X时，有If(x)-A<

函数的极限 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 lim n    0， n x a → =  | | n x a −   ．  正整数 N ， 当 n N 时，有  − N 定义 定义1 时的极限，记作 若    0，   X 0， lim ( ) x f x A → + = 则称常数 A 为函数 f x( ) 设函数 大于某数时有定义， 或 f x A x ( ) ( + ) → →  当 + lim ( ) x f x A → + =  X 0 x X  | ( ) | f x A −   ． X x X  − 小 − − −

西安毛子科技大学函数的极限XIDIAN UNIVERSITY一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义2 设函数f(x)当|x|大于某数时有定义,若ε>0,3X>O,当|x[>X时，有Lf(x)-A0,3X>0,8-X定义当1x>X时，有1f(x)-A<6

函数的极限 定义2 时的极限，记作 若    0，   X 0， lim ( ) x f x A →  = 则称常数 A 为函数 f x( ) 设函数 大于某数时有定义， 或 f x A x ( ) ( ) → →  当 lim ( )    0， x f x A →  =  当 | | x X  时，有 | ( ) | f x A −   ．  − X 定义   X 0， 一、自变量趋于无穷大时函数的极限

西安毛子科技大学函数的极限XIDIANUNIVERSITY例1用定义证明lim二=0x-00X1证>0，要使只要x8rx取X=当|x|>X时，有<8x80f因此 lim=0x-0x

函数的极限 例1 用定义证明 1 lim 0 x→  x = ． 证    0， 要使 只要 取 1 X  = ， 当 时，有 1 0 x −   ． 因此 o x y 1 y x =

西安毛子科技大孝函数的极限XIDIANUNIVERSITS自变量趋于无穷大时函数极限的几何意义Vy= f(x)A-8xolX-XX-Xlimf(x)=A:Vε>0，X>0，当[x>X时，函数y=f(x)的图形位于两条直线=A-ε和y=A+ε之间

函数的极限 自变量趋于无穷大时函数极限的几何意义 O x y y f x = ( ) A A+  A− −X −X X X lim ( ) x→  f x A = ：   0，  X 0， 当 时，函数 y f x = ( ) 的图形位于两条直线 y A = − 和 y A = + 之间．

西安毛子科技大学函数的极限XIDIANUNIVERSITY自变量趋于无穷大时函数极限的几何意义VA+Sy= f(x)A-80X-XXx-X定义3 若 lim f(x)= A(lim f(x)= A,lim f(x)= A),则直线y=A是函数=f(x)的图形的水平渐近线

函数的极限 自变量趋于无穷大时函数极限的几何意义 O x y y f x = ( ) A A+  A− −X −X X X 定义3 若 lim ( ) ， x f x A →  = 则直线 = = y A y f x 是函数 ( )的图形的水平渐近线． ( lim ( ) lim ( ) ) ， ， x x f x A f x A →+ →− = =

西安毛子科技大学函数的极限XIDIANUNIVERSITSytsinx例2用定义证明lim=0.X-00xsinx1sinxsinx证0V00,RX时，有因此 lim=0.<.xX-00x

函数的极限 例2 用定义证明 sin lim 0 x x →  x = ． 证    0， 要使 只要 sin | sin | 0 | | x x x x − = 1 | | x    ， 1 X  取 = ， 当 时，有 sin 0 x x −   ． 因此 sin x y x = O x y

西要毛子科技大学函数的极限XIDIANUNIVERSITS二、自变量趋于有限值时函数的极限×-当x→1时的变化趋势，观察函数 f(x)=x+1和 J;(x)=-Y若当x无限接近于x时，函数Vx-101)x-为函数f(x)当 x→x时的极限

函数的极限 y x = +1 2 1 1 x y x − = − 二、自变量趋于有限值时函数的极限 2 1 2 1 ( ) 1 ) 1 ( 1 x f x x f x x x − → = + = − 观察函数 和 当 时的变化趋势． O x y 1 f x( ) 无限接近于常数 A ，则称常数 A 为函数 f x( ) 当 时的极限． 若当 x 无限接近于 x0 时，函数 y x = +1 2 → ( 1) x → 2 1 2 1 ( 1) x y x x − = → → − | ( ) | f x A −   0 0  | | x x −  

西安毛子科技大学函数的极限XIDIAN UNIVERSITY定义4 设函数f(x)在点xo的某一去心邻域内有定义,若>0,3>0，当00, 38>0,8-8定义当0<x-x<S时，有f()-A<8

函数的极限    0，   0， 0 lim ( ) x x f x A → =  定义4 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义， 或 若    0， 则称常数 A 为函数    0， f x( ) 当 时的极限． 0 lim ( ) x x f x A → 记作 = 0 f x A x x ( ) ( ) → → 当   − 定义