西安毛子科技大学数学与统计学院School of mathematies and statistiesXIDIAN UNIVERSITY高等数学第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
西要毛子科技大学泰勒公式XIDIANUNIVERSITS一．泰勒公式的引入在微分应用中已知近似公式f(x) = f(xo)+ f'(x)(x - x0)p(x)x 的一次多项式pl(x)= f'(x)特点： p(x)=f(x)误差： 0(x- x)如何提高精度？需要解决的问题如何估计误差？
泰勒公式 一. 泰勒公式的引入 x 的一次多项式 f x( ) 0 0 0 + − f x f x x x ( ) ( )( ) 在微分应用中已知近似公式: 特点: 0 = f x ( ) 0 = f x( ) 需要解决的问题 如何提高精度? 如何估计误差? 0 误差: o x x ( ) −
西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITY问题：设f(x)在含有xo的开区间内具有n+1阶导数，试找到一个关于 x一xo的 n次多项式P(x) = ao +a(x - xo)+a2(x - xo)? +... +an(x - xo)"近似表达 f(x),要求:(1)f(x) - P,(x) = o[(x - xo)"l求出误差 1 f(x)-P,(x)I 具体表达式,(2)
泰勒公式 问题：设 f x( ) 在含有 x0 的开区间内具有 n +1 阶导数，试 找到一个关于 x x − 0 的 n 次多项式 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )n P x a a x x a x x a x x n n = + − + − + + − 近似表达 f x( ), 要求： (1) 0 ( ) ( ) [( ) ], n n f x P x o x x − = − (2) 求出误差 | ( ) ( ) | f x P x − n 具体表达式
西安毛子科技大学泰勒公式IDIANUNIVERSITY求n次近似多项式 Pn(x),满足:pn(x)= f(x),p'(xo)= f(x), *"-, p(m(x)= f(n)(x)则 p,(x)= a +a(x-xo)+a,(x-x) +..+a,(x-xo)"p,(x)=a +2a,(x-xo) +..+na,(x-xo)"-ip(x) =2la, +..+n(n-1)a,(x-xo)-2n!anp("(x)=a, = p'(xo) = f'(x),ao = pn(xo) = f(x),于是az=p"(x)=f"(x),...,a, =p("(x)=二(n) (xo)2!nP,(x)= (x0) +f(x)x-x)+(x)x-) +. + (x)x-x)"故
泰勒公式 求 次近似多项式 满足: 1 2 0 2! ( ) n a p x = 0 1 ( ), 2! = f x , 1 ( ) ! 0 ( ) n n n n a p x = ( ) 0 1 ( ) ! n f x n = 故 ( ) n p x = 0 f x( ) 0 0 + − f x x x ( )( ) + ( ) 0 0 1 ( )( ) ! n n f x x x n + − 2 0 0 1 ( )( ) 2 + − f x x x ！ ( ) n 则 p x = ( ) n p x = ( ) n p x = ...... ! n n a ( ) ( ) n n p x = 0 0 ( ) n a p x = 0 = f x( ), 1 0 ( ) n a p x = 0 = f x ( ), 1 a 2 0 + − 2 ( ) a x x 1 0 ( )n n n a x x − + + − 2 2!a 2 0 ( 1) ( )n n n n a x x − + + − − 0 a 2 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( )n n + − + − + + − a x x a x x a x x 于是
西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITY二.泰勒(Taylor)中值定理泰勒中值定理1如果函数f(x)在x处具有n阶导数：那么存在x的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有(x)= f()+ F()x-x)+((x-x)+..2!(0)(x- x0) + R,(x),n!即 f(x)=p,(x)+R,(x),其中R,(x)=o(x-x)")
泰勒公式 二. 泰勒(Taylor)中值定理 泰勒中值定理1 如果函数 f x( ) 在 x0 处具有 n 阶导数， 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + 2 ! f x f x f x f x x x x x = + − + − 0 ( ) (( ) ) n 其中 R x o x x n = − . 0 那么存在 x 的一个邻域，对于该邻域内的任一 x, 有 ( ) ( ) ( ), n n 即 f x p x R x = + ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ), ! n n n f x x x R x n − +
西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITY(f(x) = f(xo)+ f'(x)(x -xo.2!("(0) (x- x0)"+ R,(x),(1)n!"xp,(x) = f(x)+ f'(x)(x -xo)2!n!称为f(x)在xo处(按x一xo的幂展开)的n次近似(泰勒)多项式R,(x)=o((x-xo)")称为佩亚诺余项(1)称为函数f(x)在x处(按 x 一 xo的幂展开)的带有佩亚诺余项的n阶泰勒展式
泰勒公式 ( ) (( ) ) 0 称为佩亚诺余项. n R x o x x n = − 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + 2 ! f x f x f x f x x x x x = + − + − ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ), ! n n n f x x x R x n − + ( ) 0 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2! ! n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n = + − + − + + − 称为 f x( ) 在 x0 处(按 x x − 0 的幂展开)的 n 次 n 近似(泰勒)多项式 (1) (1)称为函数 f x( ) 在 x0 处(按 x x − 0 的幂展开)的带有佩亚诺余项 的 n 阶泰勒展式
西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITY泰勒中值定理2如果函数f(x)在x的某个邻域U(x)内具有(n+l)阶导数，那么对任一xe U(x),有x.f(x)= f(x)+ f(x)(x-xo.-2!f(n (xo)(x -xo)" + R,(x),n!(n+)(E)其中 R,(x)一x)n+l,这里≤是x与 x之间的某个值(n+1)!
泰勒公式 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! f x f x f x f x x x x x = + − + − + + ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ), ! n n n f x x x R x n − + 泰勒中值定理2 如果函数 f x( ) 在 x0 的某个邻域 U( ) x0 内 具有 ( 1) n + 阶导数，那么对任一 x x U( ), 0 有 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) , ( 1)! n n n f R x x x n + + = − + 其中 这里 是 x0 与 x 之间的某个值
西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITYf"(xo)f(x)= f(x)+ f(x)(x-x)-(x-x)? +...+2!(n)(xo(2)-xo)" + R,(x),n!R,(x) :(x-x）+l称为拉格朗日余项(n +1)!(2)称为函数f(x)在xo处(按x 一xo的幂展开)的带有拉格朗日余项的n阶泰勒展式
泰勒公式 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! f x f x f x f x x x x x = + − + − + + ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ), ! n n n f x x x R x n − + (2) ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n + + = − + 称为拉格朗日余项. (2)称为函数 f x( ) 在 x0 处(按 x x − 0 的幂展开)的带有拉格朗日余项 的 n 阶泰勒展式
西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITY特例：当n=0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式f(x)= f(x)+f'(E)(x-xo)(在 x与x之间)如果对某个固定的n，当 x εU(x)时，1 f(n+)(x)< M.则有估计式MnXn+R,(x)(n + 1)!(n + 1)!
拉格朗日中值公式 泰勒公式 特例: 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f x( ) = 0 f x( ) 0 + − f x x ( )( ) 如果对某个固定的 n, 当 x x U( )0 时, ( 1) | ( ) | . n f x M + 则有估计式 ( 1) 1 0 ( ) ( ) = ( ) ( 1)! n n n f R x x x n + + − + 1 0 ( 1)! M n x x n + − + ( 在 x0 与 x 之间)
西安子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITY() = f(x0) + F(x0)(x- 0)+ "(00)(2(x-x0)22f("(0)(x-xo) +0(x - xo)")n!上式中，若取x。=0，则得到带有佩亚诺余项的麦克劳林公式r(n) (0)f"(0)f(x) = f(O)+ f(O)x -+o(x")2!n!
泰勒公式 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + + 0 (( ) ) n + − o x x n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ( ) 2 (0) (0) ( ) (0) (0) ( ). 2! ! n n n f f f x f f x x x o x n = + + + + + 上式中，若取 x0 = 0, 则得到带有佩亚诺余项的麦克劳林公式