西安毛子科技大学数学与统计学院Schoolofmathematies andstatisticsXIDIAN UNIVERSITY畜等数学第四节无穷小与无穷大
第四节 无穷小与无穷大
西要毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIAN UNIVERSITY一、无穷小定义1若lim f(x)=0(limf(x)=0)，则称函数f(x)为 x→x(x→8)时的无穷小例如 lim(x-1)=0，函数x-1为当 x→1时的无穷小;t-lim==0，函数=为当x→αo时的无穷小。X>00Xx
无穷大与无穷小 一、无穷小 定义1 则称函数 为 时的无穷小. 例如 函数 为当 时的无穷小； (lim ( ) 0 ， x f x → = ) 函数 为当 时的无穷小． 1 lim 0 x→ x = ， ( ) x →
西安毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIAN UNIVERSITY注极限为零的变量称为无穷小1．无穷小是变量，不能与很小的数混淆；2．零是唯一可以作为无穷小的常数；3．函数是否为无穷小，与自变量的变化趋势有关例如 lim(x-1)=0，函数x-1为当 x→1时的无穷小;lim e=0，函数e为当x→-o 时的无穷小。x→-
无穷大与无穷小 注 1. 无穷小是变量，不能与很小的数混淆； 2. 零是唯一可以作为无穷小的常数； 3. 函数是否为无穷小，与自变量的变化趋势有关. 极限为零的变量称为无穷小 例如 函数 为当 时的无穷小； lim e 0 x x→ − = ， 函数 为当 时的无穷小．
西安毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIANUNIVERSITY定理1 lim f(x)= A f(x)= A+α(x)，其中α(x)是当x→x时的无穷小。证limf(x)=A>0, 8>0,当0<|x-x。<时,1f(α)-A<8.令α(x)= f(x)-A, f(x)=A+α(x) 且limα(x)=0.x→X0
无穷大与无穷小 定理1 0 lim ( ) ( ) ( )， x x f x A f x A x → = = + 当 → x x0 时的无穷小． 其中 ( ) x 是 证 令 = − ( ) ( ) x f x A， 0 lim ( ) 0， x x f x A → = 0， 0 ( ) ( ) lim ( ) 0 x x f x A x x → = + = 且 ．
西安毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIAN UNIVERSITY二、无穷大定义2 设函数f(x)在点 xo的某一去心邻域内有定义，若M>0,38>0,当0M，则称f(x)为当 x→x时的无穷大.记作 lim f(x)=o0lim f(x)=00 VM>0, 3X>0,X-00M-X定义当Ix|>X时,有/f(x)|>M.注函数极限为无穷大，它的极限不存在
无穷大与无穷小 二、无穷大 定义2 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义， 若 M 0， 为 0， f x( ) 当 时的无穷大． 0 lim ( ) x x f x → 记作 = 则称 注 函数极限为无穷大，它的极限不存在. M 0， 0， 0 lim ( ) x x f x → = M − 定义 X 0， | | x X X
西安毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIANUNIVERSITS1．可类似给出正无穷大和负无穷大的定义：2．函数极限为（正、负)无穷大，它的极限不存在；3．无穷大是变量，不能与很大的数混淆，lim f(x)=+00≤ VM >0,38>0,M-8定义当0M
无穷大与无穷小 M 0， 0， 0 lim ( ) x x f x → = M − 定义 1. 可类似给出正无穷大和负无穷大的定义； f x M ( ) ． + 2. 函数极限为(正、负)无穷大，它的极限不存在； 3. 无穷大是变量，不能与很大的数混淆．
西安毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIAN UNIVERSITY1例1证明lim8x-2 x - 2证 VM>0，要使M,0Xx1只要「x-取8当0<|x-2|<8时,MM1有M.因此 lim8x-2 x - 2X1注直线x=2是函数y=的图形的铅直渐近线x-2
无穷大与无穷小 例1 证明 证 要使 只要 取 因此 2 1 lim x→ x 2 = − ． 1 2 M x − ， 1 | 2 | x M − ， 2 1 lim x→ x 2 = − ． M 0， 有 o x y 1 2 y x = − 2 1 M = ， 1 2 M x − ． 注 直线 x = 2 是函数 的图形的铅直渐近线
西安毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIANUNIVERSITY定义3 若 lim f(x)= oo (lim f(x)=+o0,lim f(x)=-o),则直线x=x是函数y=f(x)的图形的铅直渐近线注函数为无穷大，必定无界．但无界变量未必是无穷大例如 f(α)=xcos x, x E(-o0,+o0)cosxf(x)在（-0,+oo)内无界;f(2n元)=2n元 → 0 (n →0)f(+n元)=0但
无穷大与无穷小 定义3 0 lim ( ) x x f x → 若 = 0 则直线 = = x x y f x 是函数 ( )的图形的铅直渐近线． 0 0 (lim ( ) lim ( ) ) x x x x f x f x → → = + = − ， ， 注 函数为无穷大，必定无界. 但无界变量未必是无穷大 例如 f x( ) 在 ( ) − + , 内无界； o x y y x x = cos f n n n (2 ) 2 ( ) = → → 但 ( + ) 0 2 f n =
西安毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIAN UNIVERSITY定理2 在自变量的同一变化过程中，若f(α)为无穷大1则为无穷小；反之若f(x)为无穷小，且f(x)≠0,f(x则 ()为无穷大
无穷大与无穷小 定理2 在自变量的同一变化过程中，若 为无穷大， 1 f x( ) 则 为无穷小；反之若 为无穷小，且 f x( ) 0 ， 则 为无穷大. 1 f x( )
西安毛子科技大学无穷大与无穷小IDIANUNIVERSITY三、无穷小的运算法则定理3两个无穷小的和（差）是无穷小。证设limα=0，limβ=0,→XoX→XoC>0, >0,当00，当<x-<,时，有β号2取 8=min[8,8,}，则当0<|x-xl<8 时,有[α-β≤α]+Iβ+=8，因此 lim(α-β)=0.2'2→X
无穷大与无穷小 三、无穷小的运算法则 定理3 两个无穷小的和（差）是无穷小. = min{ } 1 2 ， ， 时， 证 设 取 则当 0 0 | | − x x 0 lim 0 x x → = ， 0 lim 0 x x → = ， 0， 当 时，有 当 时，有 0 1 0 | | − x x 0 2 0 | | − x x | | | | | | + + 2 2 有 + = ， 因此 0 lim ( ) 0 x x → − −+ = ．