西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第九章 欧氏空间 9.6 对称矩阵的标准形

第九章欧氏空间S6对称矩阵的标准形S1定义与基本性质S2标准正交基S7向量到子空间的距离一最小二乘法83同构S8酉空间介绍S4正交变换小结与习题85子空间

§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间

S 9.6对称矩阵的标准形实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题69.6对称矩阵的标准形A

§9.6 对称矩阵的标准形 §9.6 对称矩阵的标准形 一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题

实对称矩阵的一些性质一引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数证：设是A的任意一个特征值，则有非零向量.S1Xn满足AS=205.S9.6对称矩阵的标准形

§9.6 对称矩阵的标准形 一、实对称矩阵的一些性质 引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数． 1 2 n x x x      =         证：设 0 是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 0 A   =

41S=其中 xi为x,的共轭复数，Xn又由A实对称，有 A=A，A'=A，A=A:. F=E() =E(AS) =(A)5-(F A)5 =(AE)5 =(AE)5=() =() =S9.6对称矩阵的标准形K

§9.6 对称矩阵的标准形A A A A = = , ,  其中 x x i 为 i 的共轭复数， 1 2 , n x x x      =         令    0   ( )   A  =  = ( ) A  又由A实对称，有 ( )    0 =  A A   =   ( ) A     ( ) 0 =  = ( )   A  = = ( ) A  0 = ( )       0  =

E-F考察等式，由于是非零复向量，必有F$=xix +x2x,+....+Xnx, +0故2,=o. , R.S9.6对称矩阵的标准形人

§9.6 对称矩阵的标准形 1 2 1 2 n 0 n   x x x x x x  = + + +  由于  是非零复向量，必有 故 0 0   = . 0    R. 考察等式， 0       0   =

引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间R"上定义一个线性变换。如下：VαeRno(α)= Aα,则对任意α,βeR"，有(α(α),β) =(α,o(β),或β'(Aα) = α(Aβ).89.6对称矩阵的标准形

§9.6 对称矩阵的标准形 引理2 设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间 上 n R ( ) , n     =   A R 定义一个线性变换  如下： (      ( ), , ( ) , ) = ( ) 则对任意  , ,  R n 有 或       ( ) ( ). A A =

证：取R"的一组标准正交基，--80则在基81,62,…,下的矩阵为A，即0(c1,2..,8n)=(81,82,...en)AXiyix.ER",β=任取α=yn)XnS9.6对称矩阵的标准形V

§9.6 对称矩阵的标准形 1 2 1 0 0 0 1 , , ..., 0 0 0 1 n                = = =                   1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., )        n n = A 证：取 R n 的一组标准正交基， 则  在基    1 2 , ,..., n 下的矩阵为A，即 任取 1 1 2 2 , , n n n x y x y R x y           = =             

即 α= X,e1 +X262 + ... + X,, =(61,82..en)X,β= yiei + y2e2 +... + ynen =(e1,e2,...en)Y,于是0(α) = 0(81,82....8n)X = (81,82,...8,)AX,(β) =o(81,62....8n)Y =(81,62....8n)AY,又81,82..…,8n是标准正交基，.. (α(α),β)=(AX)Y =(X'A)Y = X'AY= X'(AY) =(α,α(β))$9.6对称矩阵的标准形K

§9.6 对称矩阵的标准形 1 1 2 2 ... n n     = + + + y y y 1 1 2 2 ... n n 即     = + + + x x x  = (   ( ), ( ) ) AX Y = X AY ( ) 1 2 ( , ,..., ) , =    n X 1 2 ( , ,..., ) , =    n Y 于是 1 2 1 2 ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ,          = = n n X AX 1 2 1 2 ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ,          = = n n Y AY 又    1 2 , ,..., n 是标准正交基， = ( ) X A Y   = X AY  = (   , ( ))

又注意到在R"中α=X，β=Y,即有 β(Aα)=(β,α(α))=(α(α),β)=(α,o(β)) =α'(Aβ).二、对称变换1． 定义设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足Vα,βeV,(α(α),β) =(α,o(β),则称为对称变换S9.6对称矩阵的标准形V

§9.6 对称矩阵的标准形 = (   , ( )) =  ( ). A 即有      ( ) , ( ) A = ( ) = (   ( ), ) 又注意到在 中   = = X Y , , n R 二、对称变换 1．定义 (        ( ), , ( ) , , , ) =   ( ) V 则称  为对称变换． 设  为欧氏空间V中的线性变换，如果满足

2.基本性质1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：实对称矩阵可确定一个对称变换事实上，设AeRn,A'=A，&1,&2.…,6n为V的一组标准正交基：定义V的线性变换?：0(61...8n) =(61...n)A则α即为V的对称变换.$9.6对称矩阵的标准形区区

§9.6 对称矩阵的标准形 1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的： 2．基本性质 ① 实对称矩阵可确定一个对称变换． 一组标准正交基． 1 1 ( ,... ) ( ,... )      n n = A 事实上，设 , , n n A R A A   = 1 2 , ,..., n    为V的 定义V的线性变换  ： 则  即为V的对称变换．