第九章欧氏空间S6对称矩阵的标准形S1定义与基本性质S2标准正交基S7向量到子空间的距离一最小二乘法83同构S8酉空间介绍S4正交变换小结与习题S5子空间
§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间
$ 9.5子空间一、正交子空间二、子空间的正交补69.5子空间
§9.5 子空间 一、正交子空间 §9.5 子空间 二、子空间的正交补
欧氏空间中的正交子空间1. 定义:1）V与V,是欧氏空间V中的两个子空间，如果对VαeVi, βeV, 恒有(α,β)= 0,则称子空间V与V,为正交的，记作VIV2.2）对给定向量αEV，如果对VβeVi，恒有(α,β)= 0,则称向量α与子空间V正交，记作α工V89.5子空间
§9.5 子空间 一、欧氏空间中的正交子空间 1．定义： 1) V1 与 V2 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对 ( , ) 0, = 则称子空间 V1 与 V2 为正交的，记作 1 2 V V⊥ . ( , ) 0, = 则称向量 与子空间 正交，记作 1 ⊥ V . V1 1 2 V V , , 恒有 2) 对给定向量 V , 如果对 V1 , 恒有
注:1VIV,当且仅当V中每个向量都与V,正交V 1V, = VnV, =(0).2： VαVnV=(α,α)=0=α=0. )③当αlV且αeV时，必有α=069.5子空间
§9.5 子空间 注： ① V V 1 2 ⊥ 当且仅当 V1 中每个向量都与 V2 正交． ② 1 2 1 2 V V V V ⊥ = {0}. ③ 当 ⊥ V1 且 V1 时，必有 = 0. ( ) 1 2 = = V V ( , ) 0 0
2．两两正交的子空间的和必是直和。证明：设子空间V,Vz,,V两两正交，要证明V④V,④④V，只须证：V+V,++V,中零向量分解式唯一设 α +α, +...+α,=0, α, eVi, i=l,2,.",s: V,lV,i+j.. (α,0) =(α,α, +α, +...+α,) =(α;,α;) = 0由内积的正定性，可知α,=0，i=1,2,…,s.89.5子空间Λ
§9.5 子空间 证明：设子空间 V V V 1 2 ,,, s 两两正交， 2．两两正交的子空间的和必是直和． 1 2 , 要证明 V V V s V V V 1 2 + + + s 中零向量分解式唯一． 只须证： 设 1 2 0, , 1,2, , + + + = = s i i V i s , V V i j i j ⊥ 1 2 ( ,0) ( , ) ( , ) 0 = + + + = = i i s i i 由内积的正定性，可知 0, 1,2, , . i = =i s
二、子空间的正交补1. 定义：如果欧氏空间V的子空间 V,V,满足VIV,，并且V+V,=V，则称V,为V的正交补2.n维欧氏空间V的每个子空间V 都有唯一正交补证明：当V={0}时，V就是V的唯一正交补。当V≠{0}时，V也是有限维欧氏空间取V的一组正交基81,62,",8m'69.5子空间区区
§9.5 子空间 二、子空间的正交补 1．定义： 如果欧氏空间V的子空间 V V1 2 , 满足 V V 1 2 ⊥ , 并且 则称 为 的正交补. 1 2 V2 V1 V V V + = , 2． 维欧氏空间V的每个子空间 都有唯一正交补. V1 n 证明：当 V1 = {0} 时，V就是 V1 的唯一正交补． 当 时， 也是有限维欧氏空间. 1 V1 V {0} 1 2 , , , , m 取 的一组正交基 V1
由定理1，它可扩充成V的一组正交基1,82,**",8m,8m+1,**",8n记子空间 L(cm+1,",8n)=V2.显然，V+V,=V.又对 Vα= Xe +X2e, +...+xmem EV,β= Xm+1em+1 + ...+X,en eV2,(α,β)=(2x;6),2 x;e)=22xx;(6),8,)=0i=1j=m+1i=1 j=m+1.. VIv.即V,为 V的正交补.89.5子空间
§9.5 子空间 由定理1，它可扩充成V的一组正交基 1 2 1 , , , , , , , m m n + 记子空间 L V ( m n +1 2 , , . ) = 1 2 显然, V V V + = . 又对 1 1 2 2 1 , m m = + + + x x x V 1 1 2 , m m n n = + + x x V + + 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m n m n i i j j i j i j i j m i j m x x x x = = + = = + = = = 1 2 ⊥ V V . 即 为 的正交补. V2 V1
再证唯一性．设V,,V是V的正交补，则V=V④V=V④V3对 αV,由上式知 αV④V即有 α=αα，α，αV又 V,VV: αα,αα,从而有 (α,α,)=(α +α,α) =(α,α)+(α,α)=(α,α) = 0由此可得 α=0，即有α：.同理可证 V,二V2，：V,=V．唯一性得证.9.5子空间区
§9.5 子空间 再证唯一性. 设 V V2 3 , 是 V1 的正交补，则 V V V V V = = 1 2 1 31 3 1 ⊥ ⊥ , , 1 1 3 1 ( , ) ( , ) = + 由此可得 1 = 0, 2 3 V V . 对 V2 , 由上式知 V V 1 3 1 3 1 1 3 3 即有 = + , , V V 又 1 2 1 3 V V V V ⊥ ⊥ , = ( , ) 1 1 = 0 1 1 3 1 从而有 = + ( , ) ( , ) 即有 V3 同理可证 3 2 V V , 2 3 = V V . 唯一性得证
注:1子空间W的正交补记为Wl．即Wl={αeVlαlW?n维欧氏空间V的子空间W满足：2i)(W)=WdimW + dimW = dimV = nii)W@WI=Viii)iv）W的正交补Wl必是W的余子空间但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补89.5子空间一
§9.5 子空间 ② n 维欧氏空间V的子空间W满足: ① 子空间W的正交补记为 W ⊥ . 即 i) ( ) W W ⊥ ⊥ = ii) dim dim dim W W V n ⊥ + = = iii) W W V ⊥ = 注： ⅳ) W的正交补 W 必是W的余子空间. ⊥ 但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补. W V W ⊥ = ⊥
3．内射影设W是欧氏空间V的子空间，由V=WWl对 VαeV,有唯一的α,eW,α,eWl,使α=αα2称α为α在子空间W上的内射影69.5子空间
§9.5 子空间 称 为 在子空间W上的内射影. 1 3．内射影 V W W , ⊥ 设W是欧氏空间V的子空间，由 = 对 有唯一的 1 2 W W , , 使 ⊥ V, = +1 2