西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.6 线性变换的值域与核

第七章线性变换S6线性变换的值域与核S1线性变换的定义82线性变换的运算S7不变子空间s3线性变换的矩阵S8若当标准形简介S4特征值与特征向量89最小多项式s5对角矩阵小结与习题

§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6 线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵

s 7.6线性变换的值域与核一、值域与核的概念值域与核的有关性质二87.6线性变换的值域与核

§7.6 线性变换的值域与核 一、值域与核的概念 二、值域与核的有关性质 §7.6 线性变换的值域与核

一、值域与核的概念定义1：设是线性空间V的一个线性变换，集合o(V) = (o(α) [αV)称为线性变换的值域，也记作Imo，或V集合-(0)={α|αV,(α)=0)称为线性变换的核，也记作ker.注：(V)，α-(0)皆为V的子空间.87.6线性变换的值域与核V

§7.6 线性变换的值域与核 一、值域与核的概念 定义1：设  是线性空间V的一个线性变换， 集合     ( ) ( ) | V V =    称为线性变换  的值域，也记作 Im , .   或 V 集合   1      (0) | , ( ) 0 V − =  = 称为线性变换  的核，也记作 ker .  注： 皆为V的子空间. 1   ( ), (0) V −

事实上，α(V)≤V,o(V)±の，且对Vo(α),o(β)eo(V), Vke P有 o(α)+α(β)=α(α+β)α(V)ko(α)= (kα) Eα(V)即α(V)对于V的加法与数量乘法封闭。.α(V)为V的子空间.再看α-(0)。 首先,-(0)≤V,α(0)=0,87.6线性变换的值域与核V

§7.6 线性变换的值域与核 事实上，   ( ) , ( ) , V V V    且对          ( ), ( ) ( ), V k P 有         ( ) ( ) ( ) ( ) + = +  V k k V      ( ) ( ) ( ) =  即  ( ) V 对于V的加法与数量乘法封闭.  ( ) V 为V的子空间. 再看 1  (0). − 1   (0) , (0) 0, V − 首先，  =

: 0 g-l(0), g-l(0)+0又对 α,β-(0), 有(α)=0,(β)=0 从而α(α+ β)=α(α)+α(β) = 0.VkEPo(kα) = ko(α) = k0 = 0,即 α+β-l(0),kα-(0),:α-(0)对于V的加法与数量乘法封闭.故α-l(0)为V的子空间.67.6线性变换的值域与核A

§7.6 线性变换的值域与核 又对 有 从而 1    , (0), −       ( ) 0, ( ) 0 = =        ( ) ( ) ( ) 0. + = + =     ( ) ( ) 0 0, k k k k P = = =   即 1 1      (0), (0), k − − +   故 为V的子空间. 1  (0) − 1 1 0 (0), (0) .   − −     1  (0) −  对于V的加法与数量乘法封闭

定义2：线性变换α的值域(V)的维数称为的秩；的核α-(0)的维数称为的零度例1、在线性空间P[x],中，令D(f(x)= f(x)D(P[x],)= P[x]n-1'则D-i(0) = P所以D的秩为n一1，D的零度为1.87.6线性变换的值域与核A

§7.6 线性变换的值域与核 定义2：线性变换  的值域  ( ) V 的维数称为  的秩； 的核 的维数称为 的零度. 1  (0) −   例1、在线性空间 P x[ ]n 中，令 D f x f x ( ( ) ( ) ) = 则 ( ) 1 [ ] [ ] , D P x P x n n = − 1 D P (0) − = 所以D的秩为n－1，D的零度为1

二、 有关性质1.（定理10）设α是n维线性空间V的线性变换，8i,82，,8n是V的一组基，α在这组基下的矩阵是A，则1）α的值域α(V)是由基象组生成的子空间，即0(V) = L(o(81),0(82),.*,0(8n))2）的秩=A的秩67.6线性变换的值域与核K?

§7.6 线性变换的值域与核 1. (定理10) 设  是n维线性空间V的线性变换，    1 2 , , , n 是V的一组基，  在这组基下的矩阵是A， 则 1）  的值域  ( ) V 是由基象组生成的子空间，即        ( ) ( ), ( ), , ( ) V L = ( 1 2 n ) 2）  的秩＝A的秩. 二、有关性质

证:1) V5eV, 设 5=X6+X6,+...+x,en于是 0()= x,o(e)+x,0(c,)+...+x,o(cn)E L(o(c)),0(c2),.,0(8n)即o(V)≤ L(α(c)),o(,),..,o(cn)又对 Vx,o(e))+x,0(c2)+...+x,o(en)有 Xo(c))+x,0(c2)+...+x,o(cn)=o(xe +Xe, + ...+xnen)eo(V)87.6线性变换的值域与核V

§7.6 线性变换的值域与核  L(      ( ), ( ), , ( ) 1 2 n ) 即        ( ) ( ), ( ), , ( ) V L  ( 1 2 n ) 又对 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n  + + + x x x       1 1 2 2 ( ... ) ( ) n n = + + +       x x x V 证：1）   V, 设 1 1 2 2 , n n     = + + + x x x 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n 于是         = + + + x x x 有 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n x x x       + + +

.:: L(o(c)),0(8,),.",o(en))二0(V).因此, 0(V) = L(o(81),o(ε2),.",0(cn),2）由1），α的秩等于基象组(s),(s,),,α(sn)的秩，又(o(81),0(c2),.*,0(cn)) =(81,82,**,8n,)A.由第六章5的结论3知，(1),α(2),",α(n）的秩等于矩阵A的秩 秩(α)=秩(A).67.6线性变换的值域与核区区

§7.6 线性变换的值域与核   L V (       ( ), ( ), , ( ) ( ). 1 2 n ) 因此，        ( ) ( ), ( ), , ( ) . V L = ( 1 2 n ) 的秩，又 (         ( ), ( ), , ( ) ( , , , ) . 1 2 1 2 , n n ) = A ∴ 秩 ( )  ＝秩 ( ). A 等于矩阵A的秩. 2）由1），  的秩等于基象组 1 2 ( ), ( ), , ( )       n 由第六章§5的结论3知，       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 的秩

2．设α为n维线性空间V的线性变换，则α的秩十的零度=ndimo(V)+ dimo-'(0) = n即证明：设α的零度等于r，在核α-(0)中取一组基81,82,""",8,并把它扩充为V的一组基：8,82,8,，,8m由定理10,(V)是由基象组(s),α(s,),,α(n)生成的.87.6线性变换的值域与核区区

§7.6 线性变换的值域与核 2. 设  为n维线性空间V的线性变换，则  的秩＋  的零度＝n 即 1 dim ( ) dim (0) .   V n − + = 证明：设  的零度等于r ，在核 中取一组基 1  (0) − 1 2 , , , r    并把它扩充为V的一组基： 1 2 , , , , , r n     生成的. 由定理10，  ( ) V 是由基象组 1 2 ( ), ( ), , ( )       n