第十章双线性函数s10.1线性函数S10.2对偶空间$10.3双线性函数S10.4对称双线性函数
第十章 双线性函数 §10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
$ 10.2对偶空间、对偶空间与对偶基二、对偶空间的有关结果$10.2对偶空间
§10.2 对偶空间 一、对偶空间与对偶基 二、对偶空间的有关结果 §10.2 对偶空间
一、对偶空间与对偶基1.对偶空间定义设V是数域 P上的n维线性空间,L(V,P)表示V上全体线性函数的集合，在L(V,P)中定义加法和数乘运算：Vf,gEL(V,P),αeV,kEP(kf)(α) = kf(α)(f +g)(α)= f(α) +g(α),则L(V,P)构成数域P上的线性空间，称之为V的对偶空间，记为 V*810.2对偶空间
§10.2 对偶空间 一、对偶空间与对偶基 1. 对偶空间 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， L V P ( , ) 表示 V 上全体线性函数的集合，在 L V P ( , ) 中定义加法 和数乘运算： f g L V P V k P , ( , ), , ( )( ) ( ) ( ), f g f g + = + ( )( ) ( ) kf kf = 则 L V P ( , ) 构成数域 P 上的线性空间，称之为V 的对偶空间，记为 * V . 定义
1.对偶基设81,82,8为数域P上线性空间V的一组基，(1, i=ji,j=1,2,...,n作映射 J(e)=(6,厚,则 f,eL(V,P)=V,且①对任意 α=x+x,e,+...+x,e,EV,有，f,(α)=x;， i=1,2,"",n即, α= fi(α)e, + f,(α)e, +... + f,(α)en.810.2对偶空间区区
§10.2 对偶空间 1. 对偶基 设 1 2 , , , n 为数域 P 上线性空间 V 的一组基， 作映射 1, ( ) , , 1,2, , 0, i j i j f i j n i j = = = 则 ，且 * ( , ) i f L V P V = 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) . n n 即， = + + + f f f ( ) , 1,2, , i i 有， f x i n = = 1 1 2 2 , n n ① 对任意 = + + + x x x V
②fi,f,,fn线性无关证明：设kfi+k,, +...+kf, =0i=1,2,..",n.k, = 0,两端作用ε.得f,f2,…,fn线性无关③V*中任意线性函数可由fi,f2,,f,线性表出证明：VgeV*=L(V,P)，对 VαεV,设α=Xe+X2e2+...+Xnen则g(α) = xig()+x2g(c)+...+xng(cn)810.2对偶空间A
§10.2 对偶空间 ② 1 2 线性无关. , , , n f f f 证明：设 1 1 2 2 0 n n k f k f k f + + + = 两端作用 i 得 0, i k = i n = 1,2, , . ③ 中任意线性函数可由 线性表出. * V 1 2 , , , n f f f 证明： ，对 ，设 * = g V L V P ( , ) V 1 1 2 2 n n = + + + x x x 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n g x g x g x g = + + + 1 2 , , , n f f f 线性无关
: f(α)=x,, i=1,2,...,n.. g(α) = fi(α)g(e))+ f2(α)g(c,)+...+ f,(α)g(en)= g(e)f(α)+ g(82)f2(α)+ ... + g(en)f,(α)Zg(e,)f: (a)..g = Zg(e,)f, = g(e)fi + g(c2)f2 +..+ g(8n)fni-1810.2对偶空间V
§10.2 对偶空间 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n = + + + g f g f g f g 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n = + + + g f g f g f 1 ( ) ( ) n i i i g f = = 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n i i n n i g g f g f g f g f = = = + + + ( ) , 1,2, , i i f x i n = =
综合②与③即得定理2取定线性空间V的一组基81,62,,8n，若V上的n个线性函数fi,f2,,f，满足(o,3, i =-1,,f(8)={6, 1i+'则 fi,fz,,f, 为V*= L(V,P)的一组基称之为81,82,,8n的对偶基810.2对偶空间
§10.2 对偶空间 综合②与③即得 定理2 取定线性空间V的一组基 1 2 , , , , n 若V上的n个线性函数 f f f 1 2 , , , n 满足 1, ( ) , , 1,2, , 0, i j i j f i j n i j = = = 则 为 的一组基. 1 2 , , , n f f f * V L V P = ( , ) 称之为 1 2 的对偶基. , , , n
例.R上线性空间V=P[xl，任意n个不同实数ai,az,,an，根据拉格朗日插值公式，有多项式(x-a)..(x-ai-)(x-ai+)...(x-an)p;(x) =(a; -a,)...(a, -a,--)(a, -ai+1)...(a, -an)i=1,2,,n[l, j=i则 p:(a)=(6, ii=1,2,...,n且 pi(x),P2(x),.,P,(x) 为 P[xl,的一组基。810.2对偶空间V
§10.2 对偶空间 例. R 上线性空间 V P x = [ ]n ,任意 n 个不同实数 1 2 , , , , n a a a 根据拉格朗日插值公式，有多项式 1 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i n x a x a x a x a p x a a a a a a a a − + − + − − − − = − − − − 则 1, ( ) 1,2, , 0, i j j i p a i n j i = = = 且 为 的一组基. 1 2 ( ), ( ), , ( ) n p x p x p x [ ] P x n i n = 1,2,
这是因为：① Pi(x)p2(x).Ppn(x)线性无关.事实上，若有CiPi(x)+cC2P2(x)+... +cnP,(x) = 0.用a;依次代入上式则得：c,=0，i=1,2,…,n.:. Pi(x),P2(x),.,Pn(x) 线性无关dim P[x]n = n.2.. Pi(x)p2(x).. p(x)为基810.2对偶空间V
§10.2 对偶空间 这是因为: ① 1 2 线性无关. ( ) ( ) ( ) n p x p x p x 事实上，若有 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0. n n c p x c p x c p x + + + = 用 i 依次代入上式则得: a 0, 1,2, , . i c i n = = 1 2 ( ), ( ), , ( ) n p x p x p x 线性无关. ② dim [ ] . P x n n = 1 2 ( ) ( ) ( ) n p x p x p x 为基
设L.EV*(i=1,2.,n)是在a.点的取值函数：L,(p(x)= p(a,), p(x)eV, (i=1,2,.",n)则线性函数满足L(2(0) P,(0)-6 %)因此L,Lz,,Ln是P,(x),P2(x),.…",P,(x)的对偶基810.2对偶空间V
§10.2 对偶空间 则线性函数满足 1, ( ( )) ( ) 0, i j j i i j L p x p a i j = = = 因此 是 的对偶基. 1 2 , , , L L Ln 1 2 ( ), ( ), , ( ) n p x p x p x 设 L V i n i = * ( 1,2, , ) 是在 ai 点的取值函数： ( ( )) ( ), ( ) , ( 1,2, , ) L p x p a p x V i n i i = =