第二章行列式85行列式的计算S1引言S6行列式按行（列）展开82排列s3n级行列式7Cramer法则s8Laplace定理s4n级行列式的性质行列式乘法法则
§4 n 级行列式的性质 §8 Laplace定理 行列式乘法法则 §3 n 级行列式 §2 排列 §1 引言 §5 行列式的计算 §7 Cramer法则 §6 行列式按行(列)展开 第二章 行列式
82.6行列式按一行（列）展开一、余子式、代数余子式二、行列式按行列)展开法则
一、余子式、代数余子式 二、行列式按行(列)展开法则
引入W112a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32-b20/21—a11a2332—a1221a33—a1322a311312= ai(a22a33 -a23a32) + a12(a23a31 -a21a33+ a13 (a2132 - a2231)a,aa23a23a21 a23-a12[a31 a33]+ a13a31 a33=a[a32a33]可见，三级行列式可通过二级行列式来表示。RS2.6行列式按一行（列）展开
§2.6 行列式按一行（列）展开 引入 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1, 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a ( ) = a11 a22a33 − a23a32 ( ) + a12 a23a31 − a21a33 ( ) + a13 a21a32 − a22a31 22 23 11 32 33 a a a a a = 可见，三级行列式可通过二级行列式来表示． 21 23 12 31 33 a a a a a − 21 23 13 31 33 a a a a a +
一、余子式、亻代数余子式定义在n级行列式det(a)中将元素ai;所在的第i行与第i列划去，剩下(n-1)2个元素按原位置次序构成一个n－1级的行列式，ajiainar,j-1ai,j+1ai-1,1 ... ai-1,j-- ai-1,j+1 ... ai-1,nai+1,1 ... ai+1,j-1 ai+1, j+1 .. ai+1,nan... an,j-1an,j+1 ..ann称之为元素a,的余子式，记作M·F82.6行列式按一行（列）展开
§2.6 行列式按一行（列）展开 一、余子式、代数余子式 定义 在 n 级行列式 det( ) aij 中将元素 aij 所在的 第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置 2 ( 1) n − 次序构成一个 n − 1 级的行列式， 11 1, 1 1 , 1 1 1, 1 1, 1 1, 1 1 , 1 ,1 1 , 1 1, 1 1 , 1 , 1 , 1 j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − + − + + − + + + − + 称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
令A, =(-1)i+iMi称A之为元素a的代数余子式。注：①行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式。②元素a的余子式和代数余子式与ai的大小无关，只与该元素的在行列式中的位置有关，Fs2.6行列式按一行（列）展开
§2.6 行列式按一行（列）展开 ( 1)i j A M ij ij + 令 = − 称 Aij 之为元素 aij 的代数余子式． 注： ① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式 和代数余子式． 无关，只与该元素的在行列式中的位置有关． ② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小
二、行列式按行(列)展开法则1. 引理若n级行列式D= det(a）的中第i 行所有元素除a外都为0，则D=a,AjF82.6行列式按一行（列）展开
§2.6 行列式按一行（列）展开 元素除 aij 外都为 0，则 . D a A = ij ij 1.引理 二 、行列式按行(列)展开法则 若n 级行列式 D = det( ) aij 的 中第 i 行所有
证：先证a=an的情形，即aniaina1,n-1..D=an-1,nan-1,n-1n-1,100ann由行列式的定义，有E (-)ai-m.D=+ji.jnE (-1) -" u2.-1/.-.mji.jn--nZ (-- -..=annj..jn-1Rs2.6行列式按一行（列）展开
§2.6 行列式按一行（列）展开 证：先证 a a ij nn = 的情形，即 11 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 0 0 n n n n n n n nn a a a D a a a a − − − − − = 由行列式的定义，有 1 1 2 1 1 2 ( ) 1 2 1, ( 1) n n n n j j j j n j nj j j j D a a a a − − = − 1 1 1 2 1 1 1 ( ) 1 2 1, ( 1) n n n j j n j j n j nn j j n a a a a − − − = − − 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1, ( 1) n n n j j nn j n j j j a a a − − − = − −
auan-1M=a=ann结论成立。nnnnnnan-1,1an-1,n-1-般情形：anavjaina1,j-1al,j+1..a,-1,1 . a-1,j-1a;-1,ja;-1,j+1a;-1,n0000aiai+1,1... ai+1,j-1ai+1,nai+1,ja;+1,j+1anian,j+1annan,j-1.R$2.6行列式按一行（列）展开
§2.6 行列式按一行（列）展开 11 1, 1 1,1 1, 1 n nn n n n a a a a a − − − − = . nn nn = a A nn nn = a M 结论成立。 一般情形： 11 1, 1 1 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 , 1 , 1 0 0 0 0 j j j n i i j i j i j i n ij i i j i j i j i n n n j nj n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − − + − + + − + + + + − +
aiianja1,j+1ainai,j-1·+*-+ati-1,j-1at;-1,na;-1,1ai-1,j(t;-1,j+1=(-1)"-a;+1,1.. ai+1,j-1a;+1,nai+1,jai+1,j+1anannanjan,j-1an,j+10000..aijanavja1,j-1a,j+1ain....·.ai-1, .. ai-1,j-1 ai-1,j+1.. ai-l,na;-1,j=(-1)n-i(-1)"-jai+1,1.. ai+1,j-1ai+1,j+1... ai+1,nai+1,j....anannan,j+1anj...an,j-1·0000aj.=(-1)2n-(i+i)a,M, =(-1)i+i a,Mj= a,(-1)i+i M, = ajAj.结论成立。Fs2.6行列式按一行（列）展开
§2.6 行列式按一行（列）展开 11 1, 1 1, 1 1 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1 , 1 , 1 ( 1) ( 1) 0 0 0 0 j j n j i i j i j i n i j n i n j i i j i j i n i j n n j n j nn nj ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − + − − − − + + − + + + + − + = − − ( 1)i j ij ij a M + = − 2 ( ) ( 1) n i j ij ij a M − + = −( 1) . i j ij ij ij ij a M a A + = − = 结论成立。 11 1, 1 1 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 , 1 , 1 ( 1) 0 0 0 0 j j j n i i j i j i j i n n i i i j i j i j i n n n j nj n j nn ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − − + − − + + − + + + + − + = −
行列式按行（列）展开法则2.定理行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1An + ai2A, +..+ ainAin =ZaxAx-1i=1,2,..,n或 D=aijAl, +a2jA2, +.+amAn, =ZagAik=j=1,2,..,nF2.6行列式按一行（列）展开
§2.6 行列式按一行（列）展开 2.定理 行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即 D a A a A a A = + + + 1 1 2 2 j j j j nj nj D a A a A a A = + + + i i i i in in 1 1 2 2 1 n ik ik k a A = = i n = 1,2, , 1 n kj kj k a A = = j n = 1,2, , 或 行列式按行（列）展开法则