第一章多项式S7多项式函数S1数域s8复、实系数多项式82一元多项式的因式分解S3整除的概念S9有理系数多项式S4最大公因式s10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
$1.7多项式函数一、多项式函数与根二、多项式函数的有关性质
一、多项式函数与根 二、多项式函数的有关性质
一、多项式函数与根1.多项式函数设 f(x)=aox" +axn-1 +...+an, 数αe p,将f(x的表示式里的x用α代替，得到P中的数aa" +a,a"-I +...+an.称为当x=α时f(x)的值，记作f(α)这样，对P中的每一个数α，由多项式f(x)确定P中唯一的一个数f(α)与之对应，于是称f(x)为P上的一个多项式函数81.7多项式函数
§1.7 多项式函数 一、多项式函数与根 1. 多项式函数 1 0 1 ( ) , n n n f x a x a x a − 设 = + + + 数 p, 将 f x( ) 的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数 1 0 1 , n n n a a a − + + + 称为当 x = 时 f x( ) 的值，记作 f ( ). 这样，对P中的每一个数 ，由多项式 确定P 中唯一的一个数 与之对应，于是称 为P上 的一个多项式函数． f x( ) f ( ) f x( )
易知，若h(x)= f(x)+ g(x), h(x)= f(x)g(x),则,h(α)= f(α)+ g(α), h(α)= f(α)g(α)2.多项式函数的根(或零点)若多项式函数f()在 x=α处的值为0，即f(α) = 0,则称α为f(x)的一个根或零点F81.7多项式函数
§1.7 多项式函数 若多项式函数 f x( ) 在 x = 处的值为0，即 f ( ) 0, = 则称 为 f x( ) 的一个根或零点． 2. 多项式函数的根(或零点) 易知，若 1 2 h x f x g x h x f x g x ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), = + = 1 2 h f g h f g ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). = + = 则
二、多项式函数的有关性质1.定理7（余数定理）：用一次多项式x一α去除多项式f(x)，所得余式是一个常数，这个常数等于函数值 f(α).推论： α是 f(x)的根台(x-α)lf(x).F81.7多项式函数
§1.7 多项式函数 （余数定理）：用一次多项式 x − 去除多项式 f x( ), 所得余式是一个常数，这个常数等于函数 值 f ( ). 二、多项式函数的有关性质 1. 定理7 推论: 是 f x( ) 的根 − ( ) | ( ). x f x
例1 求 f(x)= x*+x2+4x-9在x=-3处的函数值法一： 把 x=-3代入 f(x)，求 f(-3).法二：用x+3去除f(x),所得余数就是f(-3)。答案：f(-3)=69.81.7多项式函数
§1.7 多项式函数 例1 求 在 处的函数值. 4 2 f x x x x ( ) 4 9 = + + − x = −3 法一： 把 x = −3 代入 f x( ), 求 f ( 3). − 法二： 用 x + 3 去除 f x( ), 所得余数就是 f ( 3). − 答案： f ( 3) 69 . − =
2.多项式函数的k重根定义若x-α是f(x)的k重因式，则称α为f(x)的 k重根当k=1时，称α为f(x)的单根，当k>1时，称α为f(x)的重根，F81.7多项式函数
§1.7 多项式函数 若 x − 是 f x( ) 的 k 重因式， 则称 为 f x( ) 的 k 重根. 当 k = 1 时，称 为 f x( ) 的单根． 当 k 1 时，称 为 f x( ) 的重根． 2. 多项式函数的k重根 定义
注:① α是f(x)的重根x-α是f(x)的重因式.②f(x）有重根=fx）必有重因式反之不然，即 f(x)有重因式未必 f(x)有重根例如，f(x)=(x2 +1)’ e R[x]x2+1为f(x)的重因式，但在R上f(x)没有根。F81.7多项式函数
§1.7 多项式函数 注： ① 是 f x( ) 的重根 − x 是 f x( ) 的重因式． ② f x( ) 有重根 f x( ) 必有重因式． 反之不然，即 f x( ) 有重因式未必 f x( ) 有重根． 2 2 例如， f x x R x ( ) ( 1) [ ], = + 为 f x( ) 的重因式，但在R上 f x( ) 没有根． 2 x + 1
3.定理8（根的个数定理）任一 P[x]中的 n次多项式(n≥0),在P 中的根不可能多于n个，重根按重数计算。福4.定理9f(x),g(x) e P[xl, 且 a(f(x)),o(g(x))≤n,若有 αj,α2,..αn+1EP,使f(α,) = g(α,),i = 1,2,...,n+1福则 f(x) = g(x).81.7多项式函数R
§1.7 多项式函数 3. 定理8 (根的个数定理) 任一 P x[ ] 中的 n 次多项式 ( 0), n 在 P 中的根 不可能多于 n 个，重根按重数计算． 4. 定理9 f x g x P x ( ), ( ) [ ], 且 ( f x g x n ( ) , ( ) , ) ( ) 若有 1 2 1 , , , n+ P 使 ( ) ( ), 1,2, , 1 i i f g i n = = + 则 f x g x ( ) ( ). =
定理8证: 设 f(x)eP[x],a(f(x)≥0若 a(f(x)=0, 即 f(x)=c≠0,此时对 Vα P,有 f(α)=c≠0. 即 f(x)有0个根a(f(x))>n 时，由因式分解及唯一性定理,f(x)可分解成不可约多项式的乘积，由推论，f(αx)的根的个数等于f(x)分解式中一次因式的个数，重根按重数计算，且此数≤n.F81.7多项式函数
§1.7 多项式函数 证：设 f x P x f x ( ) [ ], ( ) 0 ( ) 若 = ( f x( ) 0, ) 即 f x c ( ) 0, = ( f x n ( )) 时，由因式分解及唯一性定理， f x( ) 可分解成不可约多项式的乘积， 由推论， f x( ) 的根的个数等于 f x( ) 分解式中 一次因式的个数，重根按重数计算，且此数 n. 此时对 P, 有 f c ( ) 0. = 即 f x( ) 有0个根. 定理8