西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第八章 λ-矩阵 8.6 若尔当标准形的理论推导

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY$ 8.6若尔当标准形的理论推导一、若尔当块的初等因子二、若尔当形矩阵的初等因子三、若尔当标准形存在定理

一、若尔当块的初等因子 二、若尔当形矩阵的初等因子 §8.6 若尔当标准形的理论推导 三、若尔当标准形存在定理

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY一、若尔当块的初等因子02.10.001.若尔当块J。=0000020的初等因子是（－）

若尔当块 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 n n J          =         的初等因子是 ( 0 ) . n   − 一、若尔当块的初等因子

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY证：00(-000-1a-2.aE-J.=量0002-20..00-12-20X[E-Jo=(-2)"此即aE-J.的n级行列式因子又αE-J。有一个n-1级子式是

证： 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 n n E J             −   − − − =     −   − −   0 0 ( ) . n    E J − = − 此即 的 级行列式因子. E J − 0 n 又 E J − 0 有一个 n − 1 级子式是

西安毛子科技大学UNIVERSITYXIDLA0-1 2-20000-1.00-1 2-200-1所以aE-J。的 n-1 级行列式因子为1.从而，E-J。的 n-2,…·,2,1 级行列式因子皆为1.：J.的不变因子是：d(a)=...= dn-(a)=1, d,(a)=(a-2)".故J的初等因子是：（-α）

( ) 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 n     − − − − = − − − − 所以 的 级行列式因子为1. E J − 0 n − 1 从而， 的 级行列式因子皆为1. E J − 0 n − 2, ,2,1 0  J 的不变因子是: 1 1 0 ( ) ( ) 1, . ( ) ( ) n n n d d d      = = = = − − 故 的初等因子是: 0 J ( 0 ) . n   −

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY二、若尔当形矩阵的初等因子若当形矩阵J=02.00102..其中J. =000..002)Jk;xk则J的全部初等因子是：(a-z)h, (a-), ..., (a-a,)s

若当形矩阵 1 2 , s J J J J     =       其中 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 i i i i i i i k k J          =         则J的全部初等因子是： 1 2 1 2 ( ) , ( ) , , ( ) .s k k k       − − − s 二、若尔当形矩阵的初等因子

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY证：：J 的初等因子是(a-,)，i=1,2,,s1等价..aE-J.与矩阵1ZE-JE-J于是aE-J=2E

证： 的初等因子是 ( ) , 1,2, , i k i   − =i s i J  − E Ji 与矩阵 等价. ( ) 1 1 1 i k  i               −   于是 1 2 s E J E J E J E J       −   − − =     −  

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY与矩阵久D(a) =.(a-a)s等价．由定理9，J的全部初等因子是：(a-a), (a-a)h, ", (a-a,)ks

与矩阵 D( ) = ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 s k k k s           − − −   等价. 由定理9， J 的全部初等因子是： 1 2 1 2 ( ) , ( ) , , ( ) .s k k k       − − − s

西安毛子律技大枣三XIDIANUNIVERSITY可见，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若尔当块的初等因子构成的由于每个若尔当块完全被它的级数与主对角线上的元素2.所刻划，而这两个数都反应在它的初等因子（一）"上因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定从而，若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排序外被它的初等因子唯一确定

初等因子唯一确定. 完全被它的级数与主对角线上的元素 0 所刻划， 而这两个数都反应在它的初等因子 上. 0 ( )n   − 可见，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是它 的全部若尔当块的初等因子构成的.由于每个若尔当块 因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定. 从而，若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排序外被它的

西安毛子科技大枣XIDIANUNIVERSITY三、若尔当标准形存在定理1.（定理10）每一个复矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，且这个若尔当形矩阵除去若当块的排序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形

（定理10）每一个复矩阵A都与一个若尔当形矩阵 相似，且这个若尔当形矩阵除去若当块的排序外是 被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形. 三、若尔当标准形存在定理 1

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY证：若n级复矩阵A的全部初等因子为：(a-a)hi, (a-2)h, .", (a-a)hs.(*)（其中,,,,可能有相同的，指数k,kz,",k也可能相同的）。每一个初等因子（－,)"对应于一个若尔当块02.00..12..0i=1,2,..",s0100N

1 2 1 2 ( ) , ( ) , , ( ) .s k k k       − − − s 证：若n级复矩阵A的全部初等因子为: （*） （其中    1 2 , , , s 可能有相同的，指数 1 2 , , , s k k k 也可能相同的）. 每一个初等因子 ( ) i 对应于一个若尔当块 k   − i 0 0 0 1 0 0 , 1,2, , 0 0 0 0 0 1 i i i i i J i s         = =        