西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第六章 线性空间 6.8 线性空间的同构

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYS6.8线性空间的同构、同构映射的定义一二、同构的有关结论

一、同构映射的定义 二、同构的有关结论 §6.8 线性空间的同构

西安毛子科技大学-XIDIANUNIVERSITY我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后v中每一个向量α有唯一确定的坐标(a,az,,a,)，向量的坐标是P上的n元数组，因此属于Pn。这样一来，取定了V的一组基6j,62，,8n，对于V中每一个向量α，令α在这组基下的坐标(ai,az,an）与α对应，就得到v到p"的一个单射 ：V→P"，α→(a,az,,an)反过来，对于pn中的任一元素（aj,az,",an),α=&a+&az+..+8nan是V中唯一确定的元素，并且 (α)=(a,2,",an)，即也是满射因此，α是V到Pn的一一对应

我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后， V中每一个向量 有唯一确定的坐标 向量的 坐标是P上的n元数组，因此属于P n . 这样一来，取定了V的一组基 对于V中每一个 向量 ，令 在这组基下的坐标 与 对应，就 得到V到P n的一个单射 反过来，对于P n 中的任一元素 是V中唯一确定的元素， 并且 即 也是满射. 因此， 是V到 P n 的一一对应. 1 2 ( , , , ), n  a a a 1 2 , , , , n      1 2 ( , , , ) n a a a  1 2 : , ( , , , ) n   V P a a a → n 1 2 ( , , , ), n a a a 1 1 2 2 n n     = + + + a a a 1 2 ( ) ( , , , ), n   = a a a  

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上任取 α,βeV,设α=aje +a,e, +...+anen, β=bei +b,e, +...+bne,则 (α) =(a,a,*"",an), o(β)=(bi,b2,"",bn)从而 o(α+β)=(a +bi,a, +b,",an +bn)=(a,a, "*,an)+(bi,b2,".,bn) = o(α) +o(β)VkePo(ka) =(kaj,ka,"",kan)= k(a,az",an) = ko(α),这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以归结为它们的坐标的运算

这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上. 任取  , , V 设 1 2 ( ) ( , , , ) n   = b b b 1 1 2 2 , n n     = + + + a a a 1 1 2 2 n n     = + + + b b b 1 2 ( ) ( , , ), n 则   = a a a 1 1 2 2 ( ) ( , , ) n n    + = + + + a b a b a b 1 2 ( ) ( , , ) n  k ka ka ka k P =   归结为它们的坐标的运算. 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以 1 2 1 2 ( , , ) ( , , , ) ( ) ( ) n n = + = + a a a b b b     1 2 ( , , ) ( ), n = = k a a a k  从而

西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY一、同构映射的定义设V,V'都是数域P上的线性空间，如果映射Q:V→V'具有以下性质：i）为双射ii)Vα,βeV(α+ β)=α(α)+o(β),ii) α(kα)=ko(α),VkeP,VαeV则称α是V到V'的一个同构映射，，并称线性空间V与V同构，记作 V=V

一、同构映射的定义 设 V V,  都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V →  具有以下性质： 则称 是V V 到  的一个同构映射，并称线性空间 V V 与 同构，记作 V V  . ii)          ( ) ( ) ( ), , + = +  V iii)      (k k k P V ) =     ( ), , i)  为双射

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY例1、V为数域P上的n维线性空间，i,&2，,8n为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应o: V→pn,αH(a,az,",an)VαeV这里(a,a2,".,a)为α在8,82,,8,基下的坐标就是一个V到Pn的同构映射，所以 V=Pn

为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应 例1、V为数域P上的n维线性空间， 1 2 , , , n    : , n  V P → 1 2 ( , , , ) n  a a a   V 这里 ( , , , ) a a a 1 2 n 为  在    1 2 , , , n 基下的坐标， 就是一个V到Pn的同构映射，所以 . n V P 

西安毛子科技大学一XIDIANUNIVERSITY二、同构的有关结论1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构2、设V,V'是数域P上的线性空间，α是V到V"的同构映射，则有1) (0)=0, (-α)=-α(α)2)o(kiai + k,a, +...+k,a,)= kjo(α)+ k,o(α,) +... + k,o(α,),α,eV, k,eP, i=l,2,..",r

1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构. 二、同构的有关结论 同构映射，则有 1）      (0 0, . ) = − = − ( ) ( ) 2、设 V V,  是数域P上的线性空间， 是V V 到  的 2） 1 1 2 2 ( ) r r     k k k + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ), r r = + + + k k k       , , 1,2, , . i i   = V k P i r

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY3）V中向量组αi,α2，,α,线性相关（线性无关）的充要条件是它们的象α(α),α(α),,α(α,)线性相关（线性无关）：dimV = dimV'.405）：V→V的逆映射-1为V'到V的同构映射.若W是V的子空间，则W在α下的象集6）o(W) =(o(α)|α W)是的V子空间，且 dimW =dimo(W)

线性相关（线性无关）. 3）V中向量组    1 2 , , , r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 1 2 ( ), ( ), , ( )      r 4） dim dim . V V =  5） ：V V →  的逆映射 为 的同构映射. 1  − V V 到 是的V子空间，且 dim dim ( ). W W =      ( ) { ( ) } W W =  6） 若W是V的子空间，则W在  下的象集

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY证：1）在同构映射定义的条件ii)(kα)=ko(α)中分别取 k=0与k=-1,即得α(0)=0, α(-α)=-(α)2）这是同构映射定义中条件ii)与ii)结合的结果3）因为由 k,αi+k,αz+.+k,α,=0可得 ko(α)+k,(α2)+...+k,o(α,)= 0反过来, 由 kjo(α)+k,o(α2)+.….+k,o(α,)= 0可得 o(kα +k,αz +...+k,α,)=0

中分别取 k k = = − 0 1, 与 即得      (0 0, ) = − = − ( ) ( ) 证： 1）在同构映射定义的条件iii)     (k k ) = ( ) 2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果. 3）因为由 1 1 2 2 0 r r k k k    + + + = 可得 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 r r k k k       + + + = 反过来，由 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 r r k k k       + + + = 可得 1 1 2 2 ( ) 0. r r     k k k + + + =

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY而是一一对应，只有 (0)= 0.所以可得kα+k,αz+.…+k,α,=0.因此，αj,α2,,α,线性相关（线性无关）(α),(α),,(α）线性相关（线性无关）4）设dimV=n，&j,62,n为V中任意一组基由2）3）知,(8),0(82),,0(8n)为α的一组基所以 dimV'= n=dimV

而  是一一对应，只有  (0) 0. = 所以可得 1 1 2 2 0. r r k k k    + + + = 因此，    1 2 , , , r 线性相关（线性无关） 1 2 ( ), ( ), , ( )       r 线性相关（线性无关）. 4）设 为V 中任意一组基. 1 2 dim , , , , V n n =    由2）3）知，       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 为  的一组基. 所以 dim dim . V n V  = =

西要毛子科技大枣三XIDIANUNIVERSITY5）首先-1:V'→V是1一1对应，并且o-=Iv，-=I，为恒等变换任取 α',β'εV'，由于α 是同构映射，有α(α-(α'+β')=α0α-l(α' +β')= α'+β=α0α-l(α)+α 0α-l(β') =α(α-(α) +(α-l(β')=α(α-l(α')+α-l(β)再由是单射，有-(α'+β)=-l(α)+-l(β)同理，有 -l(kα')=kα-l(α"),Vα'V,VkP所以,α-1为V到V的同构映射

1 1           ( ( )) ( ) − −       + = + = + 任取     , , V 1 1 , , V V     I I − − = =  I为恒等变换. 1 1 1 1             ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) − − − − = + = +     1 1      ( ( ) ( )) − − = +   5）首先  −1 :V V  → 是1－1对应，并且 同理，有 1 1      ( ) ( ), , k k V k P − −     =     所以， 为 的同构映射. 1  − V V 到  再由 是单射，有 1 1 1        ( ) ( ) ( ) − − −      + = +