西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYS6.7子空间的直和直和的定义直和的判定三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY设V,V,为线性空间V的两个子空间，由维数公式dimV + dimV, = dim(V + V2) + dim(V NV2)有两种情形：1) dim(V +V)0,即，Vn,必含非零向量
有两种情形： 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dim dim dim( ) dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + + 1 2 1 2 1) dim( ) dim dim V V V V + + 此时 dim( ) 0, V V 1 2 即， 必含非零向量. V V 1 2
西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY2) dim(V + V2) = dimV + dimV此时 dim(VnV)=0,VnV,不含非零向量，即VnV,={O)情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和
情形2）是子空间的和的一种特殊情况 直和 1 2 1 2 2) dim( ) dim dim V V V V + = + 此时 dim( ) 0, V V 1 2 = V V 1 2 不含非零向量，即 V V 1 2 = 0
西要毛子科技大学-XIDIANUNIVERSITY一、直和的定义设V,V为线性空间V的两个子空间，若和Vi+V中每个向量α的分解式α=α +α2, α V,α, eV是唯一的，和V+V,就称为直和，记作V④V2.注：①分解式 α=α +α 唯一的，意即若有 α=α +αz = β + β2, α,β V,α2,β, V2则 αi =βi,α, = β2
一、直和的定义 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，若和 V V 1 2 + 1 2 1 1 2 = + , , V V 是唯一的，和 就称为直和，记作 1 2 V V . V V 1 2 + 注: 若有 , , , 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 = + = + , V V 则 1 1 2 2 = = , . ① 分解式 = +1 2 唯一的，意即 中每个向量 的分解式
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立．例如，R3的子空间V= L(61,62), V, = L(82,63), V, = L(63)这里，81 =(1,0,0), 62 =(0,1,0), 83 =(0,0,1)在和+V中，向量的分解式不唯一，如(2,2,2) = (2,3,0) + (0,-1,2) =(2,1,0) +(0,1,2)所以和VI+V,不是直和
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间 1 1 2 2 2 3 3 3 V L V L V L = = = ( , ), ( , ), ( ) 1 2 3 这里， === (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 在和 V V 1 2 + 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) = + − = + 所以和 V V 1 2 + 不是直和
西安毛子科技大枣-XIDIAN UNIVERSITY而在和Vi +V,中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的(2,2,2) = (2,2,0) + (0,0,2)事实上，对 Vα=(ar,a2,a)eV+V,都只有唯一分解式：α=(ai,az,0)+(0,0,as)故V+V,是直和.V = L(81,2), V, = L(82,83), V3 = L(83)这里，=(1,0,0),82=(0,1,0),3=(0,0,1)
而在和 V V 1 3 + 中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2) = + 事实上，对 1 2 3 1 3 = + ( , , ) , a a a V V 故 是直和. V V 1 2 + 1 2 3 都只有唯一分解式： = + ( , ,0) (0,0, ). a a a
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY二、直和的判定1、（定理8)和V+V,是直和的充要条件是零向量分解式唯一，即若 α+α=0,αV,α则必有 α, =α= 0.2、和V+V,是直和VnV,={0),3、和V+V,是直和 dim(V +V2)= dimV + dimV
二、直和的判定 分解式唯一，即若 1 2 1 1 2 2 + = 0, , V V 1、(定理8) 和 V V 1 2 + 是直和的充要条件是零向量 则必有 1 2 = = 0. 2、和 V V 1 2 + 是直和 = V V 1 2 0. 3、和 V V 1 2 + 是直和 + = + dim( ) dim dim V V V V 1 2 1 2
西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY总之，设Vi,V2为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价：1）V+V,是直和2）零向量分解式唯一3) VnV, =0]4) dim(V + V2) = dim V + dimV24、（定理10)设U是线性空间V的一个子空间，则必存在一个子空间W，使V=U④W.称这样的W为U的一个余子空间
总之，设 V V1 2 , 为线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价: 2）零向量分解式唯一 1） V V 1 2 + 是直和 3） V V 1 2 = 0 4） dim( ) dim dim V V V V 1 2 1 2 + = + 4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 称这样的W为U的一个余子空间. 则必存在一个子空间W，使 V U W =
西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY注意：余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间)，如，在R3中，设α =(1,1,0), αz =(1,0,0), β, =(0,1,1), β, =(0,0,1)令 U= L(αj,αz), WI = L(β), Wz= L(β2),5、设81,82,,8,；n,n2,,ns分别是线性子空间V,V2 的一组基，则V+V是直和←81,82,8,,n,n2,,ns线性无关
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 注意： 如，在R3中，设 1 2 1 1 2 2 令 U L W L W L = = = ( , ), ( ), ( ), 1 2 1 2 = = = = (1,1,0), (1,0,0), (0,1,1), (0,0,1) 5、设 1 2 1 2 , , , , , , r s ; 分别是线性子空间 1 2 V V, 的一组基，则 V V 1 2 + 是直和 1 2 1 2 , , , , , , , r s 线性无关
西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITY三、推广多个子空间的直和1、定义V,V2,,V，都是线性空间V的子空间，若和V,=V+V,+…·+V,中每个向量α的分解式道α=αi +α, +..+α,, α, V,i =l,2,....sSZV是唯一的，则和就称为直和，记作i=-1V④④...④v
1、定义 1 2 中每个向量 的分解式 1 s i s i V V V V = = + + + 三、推广 多个子空间的直和 V V V 1 2 ,,, s 都是线性空间V的子空间，若和 是唯一的，则和 就称为直和，记作 1 s i i V = V V V 1 2 s , , 1 2 1,2, , = + + + = s i i V i s