西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.5 对角矩阵

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYs7.5对角矩阵一、可对角化的概念二、可对角化的条件三、对角化的一般方法

一、可对角化的概念 二、可对角化的条件 §7.5 对角矩阵 三、对角化的一般方法

西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITY一、可对角化的概念定义1：设是n维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换?可对角化定义2：矩阵A是数域P上的一个n级方阵．如果存在一个P上的n级可逆矩阵X，使X-AX为对角矩阵，则称矩阵A可对角化

定义1：设  是 n 维线性空间V的一个线性变换， 如果存在V的一个基，使  在这组基下的矩阵为对 角矩阵，则称线性变换  可对角化. 矩阵，则称矩阵A可对角化. 定义2：矩阵A是数域 P 上的一个 n 级方阵. 如果 存在一个 P 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角 1 X AX − n X 一、可对角化的概念

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSIT二、可对角化的条件1.(定理7)设为n维线性空间V的一个线性变换则α可对角化台有n个线性无关的特征向量,2.（定理8)设为n维线性空间V的一个线性变换如果51,52,5k分别是的属于互不相同的特征值1,22k的特征向量，则51,52,…5线性无关

1. (定理7)设  为 n 维线性空间V的一个线性变换， 则  可对角化   有 n 个线性无关的特征向量. 二、可对角化的条件 2. (定理8)设  为n维线性空间V的一个线性变换, 如果    1 2 , , k 分别是  的属于互不相同的特征值 1 2 的特征向量，则 线性无关. , ,   k 1 2 , , k   

西安毛子科技大枣-XIDIAN UNIVERSITY3.（推论1)设α为n维线性空间V的一个线性变换，如果c的特征多项式在数域P中有n个不同特征值则可对角化.特别地，(推论2)在复数域C上的线性空间中，如果线性变换的特征多项式没有重根，则可对角化

特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中， 3. (推论1) 设  为n维线性空间V的一个线性变换， 则  可对角化. 如果线性变换  的特征多项式没有重根，则  可 如果  的特征多项式在数域P中有n个不同特征值， 对角化

西安毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY4.（定理9）设为线性空间V的一个线性变换,2…k是α的不同特征值，而5i1,5i2i,是属于特征值，的线性无关的特征向量，i=1,2,,k,则向量Si,",Si,,Sh1,Sk线性无关

特征值 i 的线性无关的特征向量， i k = 1,2, , , 则向量 线性无关. 1 11 1 1 , , , , , , k r k kr     4. (定理9) 设  为线性空间V的一个线性变换，    1 2 , , k 是  的不同特征值，而    i i ir 1 2 , , i 是属于

西安毛子科技大枣二XIDIAN UNIVERSITY5.设α为n维线性空间V的一个线性变换，222为全部不同的特征值，则可对角化dimVa,=n，Va,为α的特征子空间.代数重数;作为特征多项式的根的重数代数重数几何重数几何重数属于入;的线性无关的特征向量的最大个数，即dimVa

1 dim , i i r i V n V    =   = 为 的特征子空间. 5. 设  为n维线性空间V的一个线性变换， 1 2 , ,   r 为  全部不同的特征值，则  可对角化 代数重数 作为特征多项式的根的重数 几何重数 属于 的线性无关的特征向量的最大个数，即 𝜆i 𝜆i dim𝑉𝜆𝑖 代数重数≥几何重数

西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY6.设为n维线性空间V的一个线性变换，若在某组基下的矩阵为对角矩阵2元D=an则1）的特征多项式就是fo(a)=(a-a)(a-22)...(a-an)2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一确定的,它们就是的全部特征根(重根按重数计算)

6. 设  为n维线性空间V的一个线性变换， 若  在某组基下的矩阵为对角矩阵 1 2 n D        =       则 1）  的特征多项式就是 f ( )        = − − − ( 1 2 )( ) ( n ) 2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一 确定的,它们就是 的全部特征根(重根按重数计算)

西安毛子科技大学二XIDIANUNIVERSITY三、对角化的一般方法设α为维线性空间V的一个线性变换，1,82,8为V的一组基，α在这组基下的矩阵为A

三、对角化的一般方法 设  为维线性空间V的一个线性变换， 1 2 , , , n    为V的一组基，  在这组基下的矩阵为A

西要毛子科技大枣XIDIANUNIVERSITY1°求出矩阵A的全部特征值2，2…,22°对每一个特征值入，，求出齐次线性方程组(a,E-A)X=0,i=1.2....k的一个基础解系（此即的属于孔：的全部线性无关的特征向量在基81，62，8n下的坐标）3°若全部基础解系所合向量个数之和等于n，则有n个线性无关的特征向量nin2nn，从而o（或矩阵A）可对角化：以这些解向量为列，作一个n阶方阵T，则T可逆，T-AT是对角矩阵.而且T就是基81,82,,8到基n1,n2,,n的过渡矩阵

3°若全部基础解系所合向量个数之和等于n ，则 （或矩阵A）可对角化. 以这些解向量为列，作一个 n阶方阵T，则T可逆， 是对角矩阵. 而且 1 T AT −  有n个线性无关的特征向量    1 2 , , , , n 从而  T就是基 到基 1 2 的过渡矩阵. , , , 1 2   n , , , n    2° 对每一个特征值 i ，求出齐次线性方程组 ( ) 0, 1.2. iE A X i k − = = 的一个基础解系（此即  的属于 i 的全部线性无关 的特征向量在基 1 2 下的坐标）. , , , n    1° 求出矩阵A的全部特征值 1 2 , , , .   k

西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY不略例题：作业：P320-321: 20(3)(7), 22, 23

例题：不略 作业： P320-321: 20(3)(7), 22, 23