西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYS 7.9最小多项式最小多项式的定义、最小多项式的基本性质
一、最小多项式的定义 二、最小多项式的基本性质 §7.9 最小多项式
西要毛子科技大枣XIDIAN UNIVERSITY引入由哈密尔顿一凯莱定理，VApx",f(a)=aE-AI是A的特征多项式，则 f(A)=0.因此，对任定一个矩阵 Aε P"，总可以找到一个多项式 f(x)E P[xl，使 f(A)=0.此时，也称多项式f(x)以A为根本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系
由哈密尔顿―凯莱定理， , ( ) | | n n A P f E A = − 是A的特征多项式，则 f A( ) 0. = 因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个 n n A P 多项式 f x P x ( ) [ ], 使 f A( ) 0. = 多项式 f x( ) 以A为根. 引入 本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系. 此时，也称
西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY一、最小多项式的定义定义：设 AεPxn,在数域P上的以A为根的多项式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称为A的最小多项式
一、最小多项式的定义 定义：设 , 在数域P上的以A为根的多项 n n A P 为A的最小多项式. 式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称
西要毛子科技大学一XIDIAN UNIVERSITY二、最小多项式的基本性质1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的2.（引理2）设g(x)是矩阵A的最小多项式，则f(x)以A为根 台 g(x)f(x),3.矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因子
二、最小多项式的基本性质 1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 2.（引理2）设 g x( ) 是矩阵A的最小多项式，则 f x( ) 以A为根 g x f x ( ) ( ). 3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子
西安毛子科技大学YIDIANINIVERSIT例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式x-k;特别地，单位矩阵的最小多项式是x-1；零矩阵的最小多项式是x反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵110例2、求 A=的最小多项式。10001
例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式 x k − ; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x − 1 ； 零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵. 例2、求 的最小多项式. 1 1 0 0 1 0 0 0 1 A =
西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY解：A的特征多项式为0x-1-100=(x-1)3f(x)=| xE - A}=x-100x-1又A-E±0,(A-E)? = A?-2A+E(19-6396.9)00100：A的最小多项式为(x-1)
解：A的特征多项式为 3 1 1 0 ( ) | | 0 1 0 ( 1) 0 0 1 x f x xE A x x x − − = − = − = − − 又 A E− 0, 2 2 ( ) 2 A E A A E − = − + 1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 = − + = ∴ A的最小多项式为 2 ( 1) . x − 1 1 0 0 1 0 0 0 1 A =
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSIT相似矩阵具有相同的最小多项式4.证：设矩阵A与B相似，g(x),g(x分别为它们的最小多项式。由A相似于B，存在可逆矩阵T，使B=T-1AT从而 gA(B)= gA(T-AT)=T-ig(A)T =0g(x)|ga(x).:ga(x)也以B为根，，从而ga(x)|gb(x).同理可得又gA(x),gB(x)都是首1多项式， ： gA(x)=g(x)
4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似， g x g x A B ( ), ( ) 分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使 1 B T AT. − = 从而 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 A A A g B g T AT T g A T − − = = = ( ) A g x 也以B为根， 同理可得 ( ) ( ). A B g x g x ( ) ( ). B A 从而 g x g x 又 g x g x A B ( ), ( )都是首1多项式， ( ) ( ). A B = g x g x
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似。如：100[] -A=00020002的最小多项式皆为(x-1)(x-2)，但A与B不相似: 1aE-A|=(x-1)(x-2),[aE-B|=(x-1)(x-2)2即「E-AE-BI.所以，A与B不相似
反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似. 如： 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 , 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 A B = = 的最小多项式皆为 但A与B不相似. 2 ( 1) ( 2), x x − − 注： 3 | | ( 1) ( 2), E A x x − = − − 2 2 | | ( 1) ( 2) E B x x − = − − 即 | | | | . E A E B − − 所以，A与B不相似
西安毛子科技大学XIDIAN.UNIVERSIT.Y5.（引理3）设A是一个准对角矩阵(4 0)AK2A.并设 A,A,的最小多项式分别为 81(x),g2(x)则A的最小多项式为g(x),g,(x)的最小公倍式证: 记 g(x) =[gi(x),g2(x)]0g(A)首先，g(A)=0g(A)即A为g(x) 的根
5.（引理3）设A是一个准对角矩阵 1 2 0 0 A A A = 并设 的最小多项式分别为 1 2 . g x g x ( ), ( ) 1 2 A A, 则A的最小多项式为 的最小公倍式. 1 2 g x g x ( ), ( ) 证：记 1 2 g x g x g x ( ) [ ( ), ( )] = 首先， 1 2 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) g A g A g A = = 即A为g x( ) 的根
西要毛子科技大学XIDIAN UNIVERSIT所以g(x)被A的最小多项式整除其次，如果 h(A)=0,(h(A)°则h(A)=0"h(A2)从而 h(A)=0, h(A)= 0.:: gi(x)h(x), g2(x)h(x)从而g(x)|h(x).故g(x)为A的最小多项式
所以 g x( ) 被A的最小多项式整除. 则 1 2 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) h A h A h A = = 从而 1 2 h A h A ( ) 0, ( ) 0. = = 其次，如果 h A( ) 0, = 1 2 g x h x g x h x ( ) ( ), ( ) ( ). 从而 g x h x ( ) ( ). 故 g x( )为A的最小多项式