西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.7 不变子空间

西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITYs 7.7不变子空间、不变子空间的概念线性变换在不变子空间上的限制三、不变子空间与线性变换的矩阵化简四、线性空间的直和分解

一、不变子空间的概念 二、线性变换在不变子空间上的限制 §7.7 不变子空间 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 四、线性空间的直和分解

西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY一、不变子空间1、定义设o是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的的子空间，若VW,有α()W(即(W)W)则称W是α的不变子空间，简称为α一子空间，注：V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一个变换来说，都是一子空间

设  是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的 的子空间，若   W , 有    ( ) ( )   W W W (即 ) 则称W是  的不变子空间，简称为  －子空间. V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一 个变换 来说，都是 －子空间. 一、不变子空间 1、定义 注：

西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITY2、不变子空间的简单性质1）两个一子空间的交与和仍是α一子空间。2）设W= L(αj,αz,α,)，则W是α一子空间台 o(α,),o(α,),..",o(α,) e W.证：→"显然成立.""任取eW,设5=kjαi +kαz +..+k,α,则() = k,o(α) + k,o(α,)+... + k,o(α,).由于 o(αi),o(α2),.",o(α,)eW, :. ()eW.故W为o的不变子空间

1）两个  －子空间的交与和仍是  －子空间. 2）设 W L = ( , , ),    1 2 s 则W是  －子空间 1 2 ( ), ( ), , ( ) .         s W 证： " "  显然成立. " "  任取  W , 设 1 1 2 2 , s s     = + + + k k k 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). s s         = + + + k k k 故W为 的不变子空间. 2、不变子空间的简单性质 由于 1 2 ( ), ( ), , ( ) ,       s W    ( ) . W

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY3、一些重要不变子空间1）线性变换的值域(V)与核α-(O)都是α的不变子空间，2）若T=T，则 (V)与-(O)都是一子空间注：: af(α)= f(α)o：α的多项式f(）的值域与核都是α的不变子空间这里f(x为P[]中任一多项式

1）线性变换  的值域  ( ) V 与核 ( ) 都是 的 1  0 −  不变子空间. 3、一些重要不变子空间 2）若   = , 则  ( ) V 与 都是 －子空间. 1  (0) −    的多项式 f ( )  的值域与核都是  的不变子空间. 这里 f x( )为 P x[ ]中任一多项式.     f f ( ) ( ) = 注：

西安毛子科技大学-XIDIANUNIVERSITY3）1任何子空间都是数乘变换K的不变子空间，4）线性变换2的特征子空间V是的不变子空间。5）由的特征向量生成的子空间是的不变子空间，证：设α,α2,α是的分别属于特征值,2,",,的特征向量．任取L(α,α2,",α,),设=kjα +k,α2 +..+k,αs，则(5)= k,aαi + k,2α, +... + k,a,α, E L(α1,α2,",α,)L(α,α2,,α,)为的不变子空间

4）线性变换  的特征子空间 是 的不变子空间. 0 V  5）由  的特征向量生成的子空间是  的不变子空间. 证：设    1 2 , , , s 是  的分别属于特征值 1 2 , , ,   s 的特征向量. 3）任何子空间都是数乘变换  的不变子空间. 任取 1 2 ( , , , ), L s      设 1 1 2 2 , s s     = + + + k k k 则 1 1 1 2 2 2 1 2 ( ) ( , , , ) s s s s            = + + +  k k k L 1 2 ( , , , )  L    s 为 的不变子空间

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY注：特别地，由α的一个特征向量生成的子空间是一个一维一子空间.反过来，一个一维一子空间必可看成是的一个特征向量生成的子空间事实上，若 W= L()={|k P,0),则为 L()的一组基． 因为W为一子空间： ()W,即必存在 P,使()=：5 是的特征向量

事实上，若 W L k k P = =   (   )  , 0 .  则  为 L( ) 的一组基. 因为W为  －子空间，    ( ) , W 即必存在   P, 使    ( ) = .   是 的特征向量. 特别地，由  的一个特征向量生成的子空间是一 个一维  －子空间.反过来，一个一维  －子空间 必可看成是  的一个特征向量生成的子空间. 注：

西安毛子科技大枣三XIDIANUNIVERSITY二、o在不变子空间W引起的线性变换定义：设是线性空间V的线性变换，W是V的一个α的不变子空间．把α看作W上的一个线性变换，称作α在不变子空间W上引起的线性变换，或称作在不变子空间W上的限制.记作α

二、  在不变子空间W引起的线性变换 定义： 不变子空间W上的限制 . 记作 . W   在不变子空间W上引起的线性变换，或称作  在 设  是线性空间V的线性变换，W是V的一个  的 不变子空间. 把  看作W上的一个线性变换，称作

西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY注：① 当W时, w()=().当W时，w()无意义② aw(w)cw.③任一线性变换在它核上引起的线性变换是零变换，即α0=0Tα在特征子空间V,上引起的线性变换是数乘变换，即有 =,E

① 当  W 时，     W ( ) ( ). = ③ 任一线性变换  在它核上引起的线性变换是零 变换，即 ( ) 1 0 0 ;   − = 即有 0 . V oE   = 注： 当  W 时，   W ( ) 无意义. ②  W (W W )  .  在特征子空间 V0 上引起的线性变换是数乘变换

西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY三、不变子空间与线性变换的矩阵化简1、设o是n维线性空间V的线性变换，W是V的一子空间，6i,82,",8为W的一组基，把它扩充为V的一组基：1,62,",8k,8k+1,"….8n若ow在基,62",8下的矩阵为Apkk，则a在基81,82,,8n下的矩阵具有下列形状：(1 )

1、设  是 n 维线性空间V的线性变换，W是V 的  －子空间，    1 2 , , , k 为W的一组基，把它扩充为 V的一组基： 1 2 1 , , , , , . k k n      + 若  W 在基    1 2 , , , k 下的矩阵为 1 ，则 k k A P    在基 1 2 下的矩阵具有下列形状: , , , n    1 2 3 . 0 A A A       三、不变子空间与线性变换的矩阵化简

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSIT反之, 若o(61,2,,6n)=(61,62,,8,)( A)A pkxk。则由8,82,,生成的子空间必为的不变子空间.事实上，因为W是V的不变子空间.. 0(e1),0(62),..*,0(8r)eW.即,0(e1),0(82),.",0(6k)均可被 61,82,",8k线性表出

反之，若 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 3 , , , , , , , n n 0 A A A          =     1 . k k A P   则由    1 2 , , , k 生成的子空间必为  的 不变子空间. 事实上，因为W是V的不变子空间. 1 2 ( ), ( ), , ( ) .         k W 即，       ( ), ( ), , ( ) 1 2 k 均可被 1 2 , , , k    线性表出