西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.2 线性变换的运算

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYS 7.2线性变换的运算一、线性变换的乘积线性变换的和二、三、线性变换的数量乘法四、乡线性变换的逆五、线性变换的多项式

一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 §7.2 线性变换的运算 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式

西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITY线性变换的乘积1.定义设,t为线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积t为：()(α)=((α)，αV则at也是V的线性变换事实上, (t)(α+β)=(t(α+β))=(t(α)+t(β))= α(t(α)+α(t(β) =(t)(α) +(αt)(β),(ot)(kα) = o(t(kα)) = o(kt(α)) = ko(t(α)) = k(ot)(α)

一、 线性变换的乘积 1．定义 设  , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( ))             + = + = + 的乘积  为： (      )( ) =   ( ( )), V 则  也是V的线性变换. = + = +           ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( )              k k k k k ====

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY2.基本性质满足结合律：(ot)=(t)(1（2）E=E=，E为单位变换（3）交换律一般不成立，即一般地：OT + TO

２．基本性质 （1）满足结合律： (    ) = ( ) （2） E E    = = ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，   

西要毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY例1.线性空间R[x]中，线性变换D(f(x)= f'(x)J(f(x)=J* (t)dt(DJ)(f(x)= D(J, f(t)dt)= J(x), 即 DJ= E.而,(JD)(F(x)= J(F'(x)= f f'(t)dt = f(x)- f(O).. DJ + JD

例1. 线性空间 R x[ ] 中，线性变换 D f x f x ( ( )) = ( ) ( )( ( )) ( ( ) ) ( ) 0 , x DJ f x D f t dt f x = =  ( )( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0 0 x JD f x J f x f t dt f x f = = = −    而，   DJ JD. ( ( )) ( ) 0 x J f x f t dt =  即 DJ E =

西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY例2.设A、BEPnxn为两个取定的矩阵，定义变换(X) = AX,VX e pnxnT(X) = XB,则o, 皆为pnxn的线性变换，且对VX pmxn,有(αt)(X) = (t(X)) = α(XB) = A(XB) = AXB,(t)(X) = t(α(X)) = t(AX) = (AX)B = AXB.. ot = to

 ( ) , X AX = 例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换 n n P   则  , 皆为 P n n 的线性变换，且对   X Pn n , 有 ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ,     X X XB A XB AXB = = = = ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) .     X X AX AX B AXB = = = =  ( ) , X XB = n n X P     =  

西要毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY线性变换的和1.定义设,t为线性空间V的两个线性变换，定义它们的和+为: (+)(α)=(α)+(α),VαV则α+T也是V的线性变换，事实上， (α+)(α+β)=(α+β)+(α+β)=(α)+o(β)+t(α)+t(β) =( +t)(α)+( +t)()(α + t)(kα) = o(kα)+ t(kα) = ko(α)+kt(α)= k(α(α) + t(α) = k( +t)(α)

二、 线性变换的和 则   + 也是V的线性变换. 1．定义 设  , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和   + 为： (        + = +   )( ) ( ) ( ), V 事实上， ( )( ) ( ) ( )           + + = + + + = + + + = + + +               ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )            + = + = + k k k k k = + = + k k ( ( ) ( )) ( )( ).       

西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY基本性质2. #（1）满足交换律：＋=+(2）满足结合律：（+)+=+(+)(3）0+=+0=，0为零变换（4）乘法对加法满足左、右分配律：o(t+)=ot+o)(t+)α= t +S

（3） 0 0 , + = + =    0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律：      ( + = + ) (     + = + ) 2．基本性质 （1）满足交换律：     + = + （2）满足结合律： (      + + = + + ) ( )

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY3．负变换设为线性空间V的线性变换，定义变换一为：VαeV(-)(α)=-α(α),则一α也为V的线性变换，称之为α的负变换注:(-)+=0

(− = −        )( ) ( ), V 3．负变换 设  为线性空间V的线性变换，定义变换 − 为： 则 − 也为V的线性变换，称之为  的负变换. 注： ( ) 0 − + =  

西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY三、线性变换的数量乘法1.定义设o为线性空间V的线性变换，keP.定义k与o的数量乘积k为：(ko)(α)= ko(α),VαeV则ko也是V的线性变换

三、 线性变换的数量乘法 (k k V      )( ) =   ( ), 1．定义 的数量乘积 k 为： 则 k 也是V的线性变换. 设  为线性空间V的线性变换， k P  , 定义k与 

西要毛子科技大学一XIDIAN UNIVERSITY2. 基本性质(1) (kl)o = k(lo)(2) (k + l)α = kg + lo(3) k(α +t)= ko + kt(4) lg = g注：线性空间V上的全体线性变换所成集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性空间，记作L(V)

(1) ( ) ( ) kl k l   = (2) ( ) k l k l + = +    (3) ( ) k k k     + = + (4) 1 = 2．基本性质 注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于 线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 L V( )