西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYS 9.2标准正交基正交向量组！标准正交基二、三、正交矩阵
§9.2 标准正交基 一、正交向量组 §9.2 标准正交基 二、标准正交基 三、正交矩阵
西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITY一、正交向量组定义：设V为欧氏空间，非零向量α,αz,αmEV如果它们两两正交，则称之为正交向量组注:①若 α0，则α是正交向量组②正交向量组必是线性无关向量组
§9.2 标准正交基 设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 2 , , , , m V ① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 一、正交向量组 定义： 如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：
西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY证：设非零向量αj,αz,,αmEV两两正交令 kα +k,α, +...+kmαm=0, k,ER,则 (α,k;α,)=k;(α,α,)=k;(αj,α,)=0j-1j-1由α;±0知(α;,α,)>0,.. k,=0, i=1,2,..",m故αj,α2,,αm线性无关
§9.2 标准正交基 证：设非零向量 两两正交. 1 2 , , , m V 令 1 1 2 2 0, , m m i k k k k R + + + = 则 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m m i j j j i j i i i j j k k k = = = = = 由 i 0 知 ( , ) 0, i i 0, 1,2, , . i = = k i m 故 1 2 线性无关. , , , m
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组例如：R3中 α, =(1,1,0)， αz =(1,0,1) 线性无关,但 αi,αz 不是正交向量组： (α,α2)=1±0.④n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n
§9.2 标准正交基 ④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n. ③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 1 2 ( , ) 1 0. = 1 2 例如： 中 = = (1,1,0), (1,0,1) 3 R 线性无关． 但 1 2 不是正交向量组.
西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY二、标准正交基1.几何空间R3中的情况在直角坐标系下i= (1,0,0), j= (0,1,0), k=(0,0,1)是由单位向量构成的正交向量组，即(i,j) =(j,k) = (k,i) = 0-=1i,j,k 是 R’的一组基
§9.2 标准正交基 1. 几何空间 R 3 中的情况 在直角坐标系下 i j k = = = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组，即 二、标准正交基 ( , ) ( , ) ( , ) 0, i j j k k i = = = i j k , , 是 的一组基. 3 R | | | | | | 1 i j k = = =
西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITY设 α=xi+yj+z,k, β=x,i+y,j+z,keR3①从 (α,i)=xi， (α,j)=yr, (α,h)=zi得α=(α,i)i+(α,j)j+(α,k)k(α,β) =Xixz + yiy2 +Ziz2②③ [α}=/x?+y?+z?XiX2 + yiy2 + i32= arccosx?+y?+zx?+y?+z?即在基i,i,k 下，R'中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式
§9.2 标准正交基 设 3 1 1 1 2 2 2 = + + = + + x i y j z k x i y j z k R , ① 从 1 1 1 ( , ) , ( , ) , ( , ) i x j y k z = = = ② 1 2 1 2 1 2 ( , ) = + + x x y y z z ③ 2 2 2 1 1 1 | | = + + x y z 得 = + + ( , ) ( , ) ( , ) i i j j k k ④ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 , arccos x x y y z z x y z x y z + + = + + + + 即在基 i j k , , 下， 中的与内积有关的度量性质有 3 R 简单的表达形式
西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY2.标准正交基的定义n维欧氏空间中，由n个向量构成的正交向量组称为正交基：由单位向量构成的正交基称为标准正交基注：①由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基
§9.2 标准正交基 n 维欧氏空间中，由 n 个向量构成的正交向量组 称为正交基； 2. 标准正交基的定义 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注： ① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基
西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY②n维欧氏空间V中的一组基i,8n为标准正交基(1 i=ji,j =1,2,...,n(1)<>(8j,8,)={o ij"③n维欧氏空间V中的一组基8i,8n为标准正交基当且仅当其度量矩阵 A=(s;,,))=En④n维欧氏空间V中标准正交基的作用：设8j,,8n为V的一组标准正交基，则
§9.2 标准正交基 ② n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 ③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A E = = (( , ) . i j n ) 1 ( , ) , 1,2, , i j 0 i j i j n i j = = = ， (1) ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n 为V的一组标准正交基，则
西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY() 设 α=Xe +x,e, +..+x,eneV由(1)，(α,8,)=x,.(2)有 α=(α,8)e +(α,82)62 +...+(α,8n)8m(i) (α,β)=i+xy2 +.+y,=2y;(3)i=1这里α=Xe+Xe2+...+Xnenβ= yiei + y2e, +... + ynen.(ii) [α= /x?+..+x,?
§9.2 标准正交基 (i) 设 1 1 2 2 n n = + + + x x x V 由(1) ， ( , ) . i i = x (ii) 1 1 2 2 1 ( , ) n n n i i i x y x y x y x y = = + + + = (3) 这里 1 1 2 2 n n = + + + x x x ， 1 1 2 2 . n n = + + + y y y (iii) 2 2 1 | | n = + + x x 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 有 = + + + n n (2)
西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY3.2标准正交基的构造施密特（Schmidt)正交化过程一1)(定理1）n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基证：设α,αz,,αm欧氏空间V中的正交向量组，对 n-m 作数学归纳法.当 n-m=0时，αj,α,,αm就是一组正交基了
§9.2 标准正交基 (定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能 扩充成一组正交基. 证：设 1 2 , , , m 欧氏空间Ｖ中的正交向量组， 对 n m− 作数学归纳法． 当 n m− = 0 时, 3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程 1 2 , , , m 就是一组正交基了. 1）