第一章多项式S7多项式函数S1数域s8复、实系数多项式S2一元多项式的因式分解S3整除的概念S9有理系数多项式S4最大公因式S10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
81.5因式分解定理一、不可约多项式二、因式分解及唯一性定理
一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
问题的引入因式分解与多项式系数所在数域有关如： x*-4=(x2-2)(x2 +2)（在有理数域上）=(x - /2)(x + ~2)(x + 2)（在实数域上）=(x - /2)(x + /2)(x - /2i)(x+ /2i)（在复数域上）"1-R区F81.5因式分解定理
§1.5 因式分解定理 因式分解与多项式系数所在数域有关 如： ( )( ) 4 2 2 x x x − = − + 4 2 2 ( )( )( ) 2 = − + + x x x 2 2 2 （在有理数域上） = − + − + ( x x x i x i 2 2 2 2 )( )( )( ) 问题的引入 （在实数域上） （在复数域上）
一、不可约多项式定义：讠设 p(x)P[xl ，且 a(p(x)≥1，若 p(x)不能表示成数域P上两个次数比p(x)低的多项式的乘积，则称p(x)为数域P上的不可约多项式说明：①一个多项式是否不可约依赖于系数域②一次多项式总是不可约多项式K口F81.5因式分解定理
§1.5 因式分解定理 设 p x P x ( ) [ ] ，且 ( p x( )) 1 ，若 p x( ) 不能表示成数域 P上两个次数比 p x( ) 低的多项式的 定义： 乘积，则称 p x( ) 为数域P上的不可约多项式. 说明： ① 一个多项式是否不可约依赖于系数域. ② 一次多项式总是不可约多项式. 一、不可约多项式
多项式 p(x)(a(p(x)≥1) 不可约台p(x)的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍④多项式p(x)不可约，对Vf(x)EP[xl有p(x)[f(x) 或 (p(x),f(x)=1.证: 设(p(x),f(x)) = d(x), 则 d(x)p(x)=d(x)=a0 或 d(x)=cp(x), c±0即 d(x)=l, 或 d(x)=cp(x)μ1p(x)[ f(x)(p(x), f(x) =1RF81.5因式分解定理
§1.5 因式分解定理 ③ 多项式 p x p x ( ) ( ( )) 1 ( ) 不可约 p x( ) 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍. p x f x p x f x ( ) ( ) ( ), ( ) 1. 或 ( ) = ④ 多项式 p x( ) 不可约，对 f x P x ( ) [ ] 有 证：设 ( ( ), ( )) ( ), p x f x d x = 则 d x p x ( ) ( ) 或 d x cp x c ( ) ( ), 0 = d x cp x ( ) ( ) = ( ( ), ( )) 1 p x f x = p x f x ( ) ( ) = d x a ( ) 0 即 d x( ) 1, = 或
定理5：p(x)不可约. Vf(x),g(x)e P[x) ，若p(x)f(x)g(x), 则 p(x)|f(x) 或 p(x)g(x).证：若p(x)(x)，结论成立。若p(x)不整除 f(x)，则(p(x),f(x))=1Th4= p(x)| g(x).推论：p(x)不可约，p(x)/ i(x)f,(x).f,(x),则必有某个f,(x),使得 p(x)f(x)区口S1.5因式分解定理
§1.5 因式分解定理 p x( ) 不可约. f x g x P x ( ), ( ) [ ] ，若 p x f x g x ( ) ( ) ( ), 则 p x f x ( ) ( ) 或 p x g x ( ) ( ). 证：若 结论成立 . p x f x ( ) ( ), Th4 若 p x f x ( ) ( ) 不整除 ，则 ( ( ), ( )) 1 p x f x = 定理5： p x g x ( ) ( ). p x( ) 不可约， 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), s p x f x f x f x 则必有某个 f x i ( ), 使得 ( ) ( ). i p x f x 推论：
二、因式分解及唯一性定理1. 定理: Vp(x)e P(x),若a(f(x)≥1 ，则 f(x)可唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积所谓唯一性是说，若有两个分解式f(x) = p(x)p2(x).. p,(x) = q(x)q2(x)...q,(x)则S=t，且适当排列因式的次序后，有p;(x) = c;q;(x)其中 c,(i=1,2,,s)是一些非零常数RF81.5因式分解定理
§1.5 因式分解定理 p x P x ( ) ( ), 若 ( ( )) 1 f x ，则 f x( ) 可 唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t f x p x p x p x q x q x q x = = 1. 定理： 则 s t = ，且适当排列因式的次序后，有 ( ) ( ) i i i p x c q x = 其中 c i s i ( 1,2, , ) = 是一些非零常数． 二、因式分解及唯一性定理
证：对f(x)的次数作数学归纳1°a(f(x))=1 时，结论成立．（一次多项式都不可约)2°设对次数低于n的多项式结论成立。下证 a(f(x))=n 的情形若f(x)是不可约多项式。纟结论显然成立。若f(x)不是不可约多项式，则存在fi(x),f,(x)且a(f:(x)<n, i=1,2 使f(x) = fi(x)f2(x)由归纳假设f.(x),f(x)皆可分解成不可约多项式的积S1.5因式分解定理R区下
§1.5 因式分解定理 证：对 f x( ) 的次数作数学归纳. 1 ( ( )) 1 = f x 时，结论成立． 下证 = ( f x n ( )) 的情形. 2 设对次数低于n的多项式结论成立． （一次多项式都不可约） 若 f x( ) 是不可约多项式. 若 f x( ) 不是不可约多项式，则存在 1 2 f x f x ( ), ( ), 且 = ( ( )) , 1,2 f x n i i 使 1 2 f x f x f x ( ) ( ) ( ) = 结论显然成立． 由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积. 1 2 f x f x ( ), ( )
：f(x)可分解为一些不可约多项式的积。再证唯一性．设f(x)有两个分解式f(x) = pi(x)p2(x)... p,(x)(1)= q1(x)q2(x)...q (x)p,(x),q,(x)(i=1,2,..,S; j=1,2,.,t.) 都是不可约多项式.对s作归纳法。若 s=l, 则必有 s=t=l, f(x)=Pi(x)=qi(x)RF81.5因式分解定理
§1.5 因式分解定理 再证唯一性 . 1 2 ( ) ( ) ( ) t = q x q x q x ⑴ f x( ) 可分解为一些不可约多项式的积. ( ), ( ) 1,2, , ; 1,2, , . ( ) i j p x q x i s j t = = 都是不可约 设 f x( ) 有两个分解式 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s f x p x p x p x = 多项式. 对 s 作归纳法． 若 s = 1, 则必有 s t = = 1, 1 1 f x p x q x ( ) ( ) ( ) = =
假设不可约多项式个数为S一1时唯一性已证由(1)p,(x)qi(x)q2(x).q,(x)=q;(x), 使得 pi(x)q;(x).不妨设 ;(x)=qi(x), 则 P(x)lqi(x)=→qi(x)=ciP(x), 0即得(1)两边消去 (x),p2(x)...p,(x) =cq2(x)...q,(x).. s=t.由归纳假设有 s-1=t-1,区区下81.5因式分解定理
§1.5 因式分解定理 假设不可约多项式个数为 s − 1 时唯一性已证. 由(１) 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t p x q x q x q x 不妨设 q x q x j ( ) ( ), = 1 则 1 1 p x q x ( ) ( ) 1 1 1 1 = q x c p x c ( ) ( ), 0 1 ( ) ( ). j q x j ( ), 使得 p x q x (1)两边消去 1 q x( ), 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s t p x p x c q x q x − = 由归纳假设有 s t − = − 1 1, 即得 =s t