西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第九章 欧氏空间 9.4 正交变换

西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITYs 9.4正交变换一、一般欧氏空间中的正交变换二、n维欧氏空间中的正交变换

§9.4 正交变换 一、一般欧氏空间中的正交变换 §9.4 正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换

西要毛子律技大枣XIDIAN UNIVERSITY一、一般欧氏空间中的正交变换1.定义欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变即，((α),α(β))=(α,β),α,βV则称为正交变换注:欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广

§9.4 正交变换 一、一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 即 ， (     ( ), ( ) ( , ), ) =     , V 欧氏空间V的线性变换  如果保持向量的内积不变， 则称  为正交变换. 注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY2.欧氏空间中的正交变换的刻划（定理4）设是欧氏空间V的一个线性变换下述命题是等价的：1）是正交变换；2）α保持向量长度不变，即[o(α)] = [α],VαeV;3）保持向量间的距离不变，即d(α(α),o(β)=d(α,β),Vα,βeV

§9.4 正交变换 2.欧氏空间中的正交变换的刻划 下述命题是等价的： （定理4）设  是欧氏空间V的一个线性变换. d d V (        ( ), ( ) , , , ) =   ( ) 3）  保持向量间的距离不变，即 2）  保持向量长度不变，即 1）  是正交变换；     ( ) , ; =  V

西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY证明：首先证明1)与2)等价。1)→2)：若是正交变换，则((α),α(α))=(α,α), Vα V即，a(α)=α(α)=α, VαV,两边开方得，2)=→1):若保持向量长度不变，则对Vα,βeV(1)有，(α(α),o(α) = (α,α),(α(β),α(β))=(β,β),(2)

§9.4 正交变换 证明：首先证明1)与2)等价． 1) 2) :  即， 2 2    ( ) = (      ( ), ( ) ( , ), ) =   V 两边开方得，     ( ) , , =  V 若  是正交变换，则 2) 1) :  有， (      ( ), ( ) ( , ) ) = , (1) (      ( ), ( ) ( , ), ) = (2) 若  保持向量长度不变，则对    , V

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY(3)(α(α+β),o(α+ β))=(α+ β,α+ β),把(3)展开得，(α(α),o(α) + 2(α(α),α(β) +(α(β),α(β))=(α,α)+2(α,β)+(β,β)再由(1)(2)即得,(α(α),α(β)=(α, β)：α是正交变换

§9.4 正交变换 把(3)展开得， (            ( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( ) ) + + ( ) ( ) = + + ( , ) 2( , ) ( , )       再由(1)(2)即得， (      ( ), ( ) ( , ) ) = (          ( ), ( ) ( , ), + + = + + ) (3)   是正交变换．

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY再证明2)与3)等价。2)=3): ： (α)-(β)=α(α-β),:: d(α(α),o(β))=o(α)-α(β)（根据2）)=|o(α-β)|=[α-βl=d(α,β)故3）成立。3)=2): 若 d(α(α),o(β))=d(α,β), Vα,βV则有, d((α),o(0))=d(α,0), VαV故2）成立。即,(α)=α,VαV

§9.4 正交变换 再证明2)与3)等价． 3) 2) :  2) 3) :         ( ) ( ) ( ), − = − = −   ( 根据２） )  = − d (        ( ), ( ) ( ) ( ) ) = −    ( ) = d( , )   故 3）成立. 若 d d V (        ( ), ( ) , , , ) =   ( ) 则有， d d V (     ( ), (0) ,0 , ) =   ( ) 即，     ( ) , . =  V 故 2）成立

西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY二、n维欧氏空间中的正交变换1.n维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基不变的线性变换1)若是n维欧氏空间V的正交变换,8,82,,8n是V的标准正交基，则α(s),α(c,),",(cn）也是V的标准正交基事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质i=j即有,(o(8,),0(8,)=(6j,8,)=ij10

§9.4 正交变换 二、 n 维欧氏空间中的正交变换 1. n 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基 不变的线性变换． 是V的标准正交基，则       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 也是V 的标准正交基. 1).若 是 n 维欧氏空间V的正交变换， 1 2 , , , n     事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质 ( )  1 ( ), ( ) ( , ) i j i j 0 i j i j       = = = 即有， 

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSIT2).若线性变换使V的标准正交基1,62,,6n变成标准正交基(8),(8),,α(8n），则α为V的正交变换.证明：任取α,βV，设a = Xe +X2e2 +...Xnenβ= y1e1 + y282 +."- ynen'由1,2,,6n为标准正交基，有(α,β)=Zxyii=1

§9.4 正交变换 2).若线性变换  使V的标准正交基    1 2 , , , n 变成 变换． 标准正交基       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n ，则  为V的正交 1 1 2 2 n n     = + + x x x 1 1 2 2 , n n     = + + y y y 证明：任取  , , V 设 由    1 2 , , , n 为标准正交基，有 1 ( , ) n i i i   x y = = 

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY又 (α)=x;(e),o(β)=Zyjo(e)i=1由于(si),(2),,(sn)为标准正交基，得(o(α),o(β))=Ex;J;i=l:: (α(α),o(β)=(α,β)故是正交变换

§9.4 正交变换 ( ) 1 ( ), ( ) n i i i     x y = =  故  是正交变换． 1 ( ) ( ) n j j j     y = ( ) ( ), 1 =  n i i i     x = 又 =   = (      ( ), ( ) ( , ) ) 由于       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 为标准正交基，得

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY2.n维欧氏空间V中的线性变换是正交变换<>α在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，证明："→”设8j,82,,8n为V的标准正交基，且0(81,62,,,) -(08,082,,08.)=-(c1,2,,g.)A当α是正交变换时，由1知，081,082，,08n也是V的标准正交基，而由标准正交基8i,2,6n到标准正交基081,82,,08n的过渡矩阵是正交矩阵

§9.4 正交变换 2. n 维欧氏空间V中的线性变换  是正交变换  在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵． 设    1 2 , , , n 为V的标准正交基，且        ( 1 2 1 2 , , , , , , n n ) = ( ) = (   1 2 , , , n ) A 证明： " "  的标准正交基， 当  是正交变换时，由1知，    1 2 , , , n 也是V 而由标准正交基    1 2 , , , n 到标准 正交基 1 2 的过渡矩阵是正交矩阵. , , ,    n