西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY第七章线性变换s6线性变换的值域与核S1线性变换的定义S2线性变换的运算S7不变子空间S3线性变换的矩阵S8若当标准形简介s4特征值与特征向量9最小多项式S5对角矩阵
§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 第七章 线性变换 §5 对角矩阵
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITYs 7.1线性变换的定义线性变换的定义二、线性变换的简单性质
一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质 §7.1 线性变换的定义
西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY引入在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种保持向量的加法和数量乘法的一一对应．我们常称两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性映射.本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射线性变换
引入 在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称 线性变换. 映射. 本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY线性变换的定义设V为数域P上的线性空间，若变换:V→V满足: Vα,βeV,kPo(α+β)=α(α)+o(β)(kα) =ko(α)则称为线性空间V上的线性变换
一、 线性变换的定义 设V为数域P上的线性空间，若变换 :V V → 满足： , , V k P (k k ) = ( ) 则称 为线性空间V上的线性变换. ( + = + ) ( ) ( )
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY注：几个特殊线性变换单位变换(恒等变换)：E:V→V，αα，VαV零变换： 0:V→V,α0,VαV由数k决定的数乘变换:K:V→V，αkα，αV事实上,Vα,βeV,VmP,K(α+ β)= k(α+ β) = kα+kβ= K(α)+K(β),K(mα) = kmα = mka = mK(α)
注：几个特殊线性变换 由数k决定的数乘变换： K V V k V : , , → 事实上， , , , V m P K k k k K K ( + = + = + = + ) ( ) , ( ) ( ) K m km mk mK ( ) = = = ( ). 单位变换(恒等变换)： E V V V : , , → 零变换： 0 : , 0, V V V →
西要毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSIT例1.V=R(实数域上二维向量空间)，把V中每一向量绕坐标原点旋转角，就是一个线性变换用T。表示，即T : R?→R°, (n )(这里,易验证:Vα,βeR2,VkeRT.(α+ β)= T(α)+ T(βT(kα)= kT(α)
例1. V R = 2 (实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换， 用 T 表示，即 ( ) ( ) 2 2 : , x x T R R y y → 这里， 易验证： T T T ( ) ( ) ( ) + = + T k kT ( ) ( ) = 2 , , R k R ( ) ( )( ) cos sin sin cos x x y y − =
西安毛子科技大枣YIDIANIINIVERSIT例2.V=P[x或P[xl上的求微商是一个线性变换，用D表示，即D:V→V, D(f(x))=f'(x), Vf(x)eV例3.闭区间[a,b]上的全体连续函数构成的线性空间C(a,b)上的变换J :C(a,b)→C(a,b), J(f(x)=f f(t)dt是一个线性变换
例2．V P x P x = [ ] [ ] 或 n 上的求微商是一个线性变换， 用D表示，即 D V V D f x f x f x V : , ( ( )) ( ), ( ) → = 例3. 闭区间 [ , ] a b 上的全体连续函数构成的线性空间 : , , , ( ) ( ) ( ( )) ( ) x a J C a b C a b J f x f t dt → = 是一个线性变换. C a b ( , ) 上的变换
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY二、线性变换的简单性质1．α为V的线性变换，则o(0)= 0, α(-α) =-α(α).2.线性变换保持线性组合及关系式不变，即若 β=kjα, +k,α, +...+k,α,,则 o(β) = ko(α)+k,o(α2)+...+ k,o(α,).3.线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组.即
1． 为V的线性变换，则 (0) 0, ( ) ( ). = − = − 2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 1 1 2 2 , r r = + + + k k k 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). r r = + + + k k k 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 二、 线性变换的简单性质 的向量组. 即
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY若α,α2,,α,线性相关，则(α),(α),",(α,)也线性相关事实上，若有不全为零的数k,k,,k,使kai +k,a, +...+k,a, = 0则由2即有, kjα(α)+k,(αz)+...+k,(α,)=0.注意：3的逆不成立，即(α),α(α),,α(α,)线性相关，α,α2,,α,未必线性相关事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组.如零变换
若 1 2 , , , r 线性相关，则 ( 1 2 ), , , ( ) ( r ) 也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k k k 1 2 , , , r 使 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = 则由2即有， 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0. r r k k k + + + = 线性相关的向量组. 如零变换. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成 注意：3的逆不成立，即 ( 1 2 ), , , ( ) ( r ) 线性相关， 1 2 未必线性相关. , , , r
西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITY练习：下列变换中，哪些是线性变换？1. 在 R中, o(x,X2,x3)=(2x,X2,X2 -xg). 12. 在P[xl,中, α(f(x))= f"(x)3.在线性空间V中,()=+α，αV非零固定14. 在 pnx中,α(X)= AX, Ae pmxn固定. 15.复数域C看成是自身上的线性空间,(x)=x·6．C看成是实数域R上的线性空间，α(x)=x.1
练习：下列变换中，哪些是线性变换？ 3．在线性空间V中， ( ) = + , V 非零固定. 4．在 P n n 中， ( ) , n n X AX A P = 固定. 2．在 P x[ ]n 中， ( ) 2 f x f x ( ) ( ). = 1．在 中， 3 R ( x x x x x x x 1 2 3 1 2 2 3 , , (2 , , ). ) = − 5．复数域C看成是自身上的线性空间， ( ) . x x = 6．C看成是实数域R上的线性空间，( ) . x x = √ √ √ √