西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITYS6.5线性子空间一、线性子空间二、生成子空间
一、线性子空间 二、生成子空间 §6.5 线性子空间
西要毛子律技大學XIDIAN UNIVERSITY线性子空间1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合W_V(W≠の)若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间，则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间注：①线性子空间也是数域P上一线性空间，它也有基与维数的概念②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的维数
一、线性子空间 1、线性子空间的定义 设V是数域P上的线性空间，集合 W V W ( ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 有基与维数的概念. 维数
西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY2、线性子空间的判定定理：设V为数域P上的线性空间，集合WV(W ≠の)，若W对于V中两种运算封闭，即Vα,βeW, 有 α+βeW;VαeW,VkP, 有 kαeW茶则W是V的一个子空间。推论：V为数域P上的线性空间,W二V(W+の),则W是V的子空间Vα,βeW,Va,beP,aα+bβeW
2、线性子空间的判定 ( ) W ，若W对于V中两种运算封闭，即 + , , ; W W 有 则W是V的一个子空间． 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V W k P k W , , 有 + , , , , . W a b P a b W 推论：V为数域P上的线性空间, W V W ( ), 则 W是V的子空间
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例1设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合W=O?是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间，这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间，则R[x]为V的一个子空间。例3P[x],是P[x]的的线性子空间
例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 则R[x]为V的一个子空间． 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间． 例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的 子集合 是V的一个线性子空间，称之为V的 零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的 子空间称为非平凡子空间． W = {0}
西安毛子科技大学-XIDIANUNIVERSITY例4n元齐次线性方程组aiiXi +ai2X, +... +ainXn = 0a21Xi +a22X2 +... +a2nxn = 0(*)asiX +as2X2 +...+asnxn=0的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子空间，称W为方程组(＊)的解空间注 ①（＊)的解空间W的维数=n一秩(A),A=(aj)sxn ;②（＊）的一个基础解系就是解空间W的一组基
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)， A a = ( )ij s n ； 例4 n元齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = (＊) 注 ② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基. 空间，称W为方程组(＊)的解空间． 量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子
西要毛子律技大學XIDIANUNIVERSITY例5判断Pn的下列子集合哪些是子空间：W =((xi,x2,"",xn)x +x2 +..+xn = 0,x, e P)W, =((xi,x2,"",xn)xi +x2 +...+xn =1,x; e P)W, = ((xi,x2,"",xn-1,0)] x, e P,i =1,2,.",n-1)若为Pn的子空间，求出其维数与一组基
例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： 1 1 2 1 2 {( , , , ) 0, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 2 1 2 1 2 {( , , , ) 1, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 3 1 2 1 {( , , , ,0) , 1,2, , 1} W x x x x P i n = = − n i − 若为Pn的子空间，求出其维数与一组基
西要毛子科技大枣-XIDIAN UNIVERSITYW=((x,x,,..,x)x+x,+..+x,=0,x,eP)事实上，Wi是n元齐次线性方程组Xi +X, +...+xn=0①的解空间．所以，维W,=n一1，①的一个基础解系ni =(1,-1,0,.,0), n2 =(1,0,-1,0,..,0),nn-1=(1,0,,0,-1)就是W,的一组基
1 1 2 1 2 {( , , , ) 0, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 事实上，W1 是n元齐次线性方程组 的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系 1 2 0 n x x x + + + = ① 就是W1 的一组基. 1 = − (1, 1,0, ,0), 1 (1,0, ,0, 1) n− = − , 2 = − (1,0, 1,0, ,0)
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYW,=((x,x,,.,x,)x+x,+...+x,=1,x,eP)而在W,中任取两个向量 α,β，设α =(x,x2,"",xn), β=(yi,J2,",yn)则 α+β=(xi + yi,X2 + y2,"",xn + yn)但是 (xi +yi)+(x2 + y2)+..+(xn + yn)=(x, +x, +...+x,)+(yi + y2 +... + y,) =1+1=2：α+βWz，故W,不是Pn的子空间
2 1 2 1 2 {( , , , ) 1, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 而在W2中任取两个向量 , ，设 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) n n = = x x x y y y 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n 但是 x y x y x y + + + + + + 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 n n = + + + + + + + = + = x x x y y y 1 1 2 2 ( , , , ) n n + = + + + x y x y x y 2 + W , 则 故W2不是Pn的子空间
西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITYW, ={(x.,x,,...,x-,0)x, P,i=1,2,...,n-1)首先 0 =(0,0,.,0) =W3, ..W, ±其次, Vα,βeW3,VkeP,设α =(xi,X2,"",xn-1,0), β=(y1,y2,.", yn-1,0)则有α+ β=(xi + y1,X, + y2,"",Xn-1 + yn-1,0)eW3kα = (kxj,kx2,..", kxn-1,0)e W故，W为V的一个子空间，且维W=n一1，8, = (0,.,0,1,0..,0), i =1,2,...,n-1就是W,的一组基
3 1 2 1 {( , , , ,0) , 1,2, , 1} W x x x x P i n = = − n i − 故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ， 1 2 1 3 ( , , , ,0) n k kx kx kx W = − 1 1 2 2 1 1 3 ( , , , ,0) n n 则有 + = + + + x y x y x y W − − 其次， 3 , , , W k P 1 2 1 1 2 1 ( , , , ,0), ( , , , ,0) n n x x x y y y 设 = = − − 3 3 首先 0 (0,0, ,0) , = W W (0, ,0,1,0 ,0), 1,2, , 1 i i = = − i n 就是W3的一组基
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例6设v为数域P上的线性空间，α,α2,,α,V令W ={k,a, + k,α, +...+k,α, k, e P,i=1,2,...,r)则W关于V的运算作成V的一个子空间即α,α,……,α,的一切线性组合所成集合
例6 设V为数域P上的线性空间， 1 2 , , , r V 1 1 2 2 { , 1,2, , } 令W k k k k P i r = + + + = r r i 则W关于V的运算作成V的一个子空间． 即 的一切线性 组合所成集合. 1 2 , , , r