高等学校教材 近世代 数 (第二版) 杨子胥编著 高等教育出版社
高等学校教材 近 世 代 数 (第二版) 杨子胥 编著 高 等 教育 出 版 社
序 言 近世代数（或抽象代数）是大学数学系的重要基础课之一，主 要介绍群、环、域（以及模）的基本概念和基本理论，在这里人们 将受到良好的代数训练，并为进一步学习数学得到一个扎实的代 数基础。 我们知道，数、多项式和矩阵的出现是为了刻画一些物理量 和几何量，诸如长度、面积、速度、物理定律、空间中点的位 置、平面的运动和几何变换等.它们的表现能力是很强的，使用 数、多项式和矩阵足以刻画许多我们遇到的物理量和几何量，然 而当人们企图刻画对称性一无论是物理现象中，还是数学世界 中（尤其是在几何图形中）的对称性时，都无法用单个的数、多项 式或矩阵去刻画·为了刻画对称这一概念，人们发现了群.现在 我们知道，群是研究对称性的有力工具，由于物理、几何、数学 中对称这一概念的特殊重要性，因而使群成为近代数学极其深刻 极其重要的概念之 类似地，环、域、模也是刻画物理量和几何量的数学工具 因而研究群、环、域、模的方式可分为两大类，一类是紧密 结合其背景去研究，如晶体群，群与量子力学等；另一类是对 群、环、域、模作理论上的研究·当然两者有着相互的联系·这 样，自然地在介绍群、环、域、模的书中也有两种不同的倾向 本书则是介绍群、环、域的基本概念和基本理论·本书作者
序 言 近世代数(或抽象代数) 是大学数学系的重要基础课之一, 主 要介绍群、环、域(以及模) 的基本概念和基本理论 . 在这里人们 将受到良好的代数训练, 并为进一步学习数学得到一个扎实的代 数基础 . 我们知道, 数、多项式和矩阵的出现是为了刻画一些物理量 和几何量, 诸如长度、面积、速度、物理定律、空间中点的位 置、平面的运动和几何变换等 . 它们的表现能力是很强的, 使用 数、多项式和矩阵足以刻画许多我们遇到的物理量和几何量 . 然 而当人们企图刻画对称性———无论是物理现象中, 还是数学世界 中(尤其是在几何图形中) 的对称性时, 都无法用单个的数、多项 式或矩阵去刻画 . 为了刻画对称这一概念, 人们发现了群 . 现在 我们知道, 群是研究对称性的有力工具 . 由于物理、几何、数学 中对称这一概念的特殊重要性, 因而使群成为近代数学极其深刻 极其重要的概念之一 . 类似地, 环、域、模也是刻画物理量和几何量的数学工具 . 因而研究群、环、域、模的方式可分为两大类 . 一类是紧密 结合其背景去研究, 如晶体群, 群与量子力学等; 另一类是对 群、环、域、模作理论上的研究 . 当然两者有着相互的联系 . 这 样, 自然地在介绍群、环、域、模的书中也有两种不同的倾向 . 本书则是介绍群、环、域的基本概念和基本理论 . 本书作者
Ⅱ 序言 写的另一本书《征交表的构造》则是以群、环、域为基本工具，讲 述正交表的构造原理和方法· 杨子胥教授从事于高校代数教学与科研工作数十年，经验丰 富，成果不断.他编写的这本《近世代数》一书，是他在长期教学 实践的基础上，经过反复修改提炼整理而成的，本书取材广泛， 内容丰富且紧扣大纲，前后呼应，非常紧凑·其中一个概念的引 入，一种思想的建立或一个定理的证明，都字斟句酌一丝不苟， 既保持严格的科学性和系统性，又自然明快易于接受 近世代数是比较抽象的一门学科，但本书所举正反例子较 多，涉及面广，尽量把抽象的概念和问题具体化，而且还特别注 意同高等代数的联系，每节所配备的习题的数量和难易程度适 当，尤其是文句叙述和表达自然流畅，读来引人入胜，确实不失 为一本好的近世代数教材
写的另一本书《正交表的构造》则是以群、环、域为基本工具, 讲 述正交表的构造原理和方法 . 杨子胥教授从事于高校代数教学与科研工作数十年, 经验丰 富, 成果不断 . 他编写的这本《近世代数》一书, 是他在长期教学 实践的基础上, 经过反复修改提炼整理而成的 . 本书取材广泛, 内容丰富且紧扣大纲, 前后呼应, 非常紧凑 . 其中一个概念的引 入, 一种思想的建立或一个定理的证明, 都字斟句酌一丝不苟, 既保持严格的科学性和系统性, 又自然明快易于接受 . 近世代数是比较抽象的一门学科, 但本书所举正反例子较 多, 涉及面广, 尽量把抽象的概念和问题具体化 . 而且还特别注 意同高等代数的联系, 每节所配备的习题的数量和难易程度适 当, 尤其是文句叙述和表达自然流畅, 读来引人入胜, 确实不失 为一本好的近世代数教材 . Ⅱ 序 言
第二版前言 本书修订版主要的变动有如下四个方面 一、更正了一些错误，改动了个别定理的证明方法，特别是 去掉了一些不很必要的内容 二、增加了传递群、单群、可解群和幂集环等概念和相应的 一些定理和例子，此外还增加了少数交换图、一些研究对象的历 史背景介绍以及“本书所用符号”和“参考文献”等 三、对习题作了较大调整，去掉了少数题，每节题量减少 难度降低·但在每章最后一节的习题中却增加题目较多，题量稍 大一些，其主要目的是，可通过这些习题对本章内容起一个复习 巩固的作用；当然，其中也有少数题目难度稍大一些，可供学生 参考或习作 四、个别章节顺序作了调整，有的章节和个别定理打上星号 “*”,这些内容可略讲或不讲 由于各校情况不同，因此在使用本书时应灵活掌握，不可千 篇一律.例如上面已谈到，对于打*号的章节可略讲或不讲·比 如Sylow定理，它是群论特别是有限群论中经典结论之一，尤 其是它的证明几乎涉及到了前三章中群理论的所有概念，不仅如 此，由Sylow定理还可以很容易地推演出大量有关一些群的重 要结论和结构定理，因此，若课时不够，即使不讲定理证明但介 绍一下Sylow定理本身的内容和意义也是很有价值的
第二版前言 本书修订版主要的变动有如下四个方面: 一、更正了一些错误, 改动了个别定理的证明方法, 特别是 去掉了一些不很必要的内容 . 二、增加了传递群、单群、可解群和幂集环等概念和相应的 一些定理和例子 . 此外还增加了少数交换图、一些研究对象的历 史背景介绍以及“本书所用符号”和“参考文献”等 . 三、对习题作了较大调整, 去掉了少数题, 每节题量减少, 难度降低 . 但在每章最后一节的习题中却增加题目较多, 题量稍 大一些 . 其主要目的是, 可通过这些习题对本章内容起一个复习 巩固的作用; 当然, 其中也有少数题目难度稍大一些, 可供学生 参考或习作 . 四、个别章节顺序作了调整, 有的章节和个别定理打上星号 “ * ”, 这些内容可略讲或不讲 . 由于各校情况不同, 因此在使用本书时应灵活掌握, 不可千 篇一律 . 例如上面已谈到, 对于打 * 号的章节可略讲或不讲 . 比 如 Sylow 定理, 它是群论特别是有限群论中经典结论之一, 尤 其是它的证明几乎涉及到了前三章中群理论的所有概念, 不仅如 此, 由 Sylow 定理还可以很容易地推演出大量有关一些群的重 要结论和结构定理 . 因此, 若课时不够, 即使不讲定理证明但介 绍一下 Sylow 定理本身的内容和意义也是很有价值的
第二版前言 据知，有些高校只讲前四章，其实这也是可以的，因为这四 章可以说涵盖了近世代数最基本的内容，当然，如果条件允许， 也可以简略介绍一下主理想整环和欧氏环以及第六章的前三节」 对于习题，一般而言，每节选3至5个题做作业即可.而对 余下的题目，特别是每章最后一节中的习题，可让学有余力和考 研同学课下自行练习· 我将编写《近世代数学习辅导与习题选解》（高等教育出版社 出版)，几乎包含了本书所有习题的解答，因此可作为高校师生 学习参考之用，但这里应提醒读者的是，对任何题解都不可产生 大大的依赖性·这如同身体不适服药一样，适当用药有益健康， 过量服用则有损肌体，正确的方法应该是，对于一个题目要尽量 自己先动脑去想，实在做不出时再参阅题解.这样用辅导书可能 效果会更好一些 在本书这次修订中，山东大学张顺华教授、陕西师大雷天德 教授、潍坊学院王新民教授、解放军信息工程大学马传贵教授以 及曲阜师大、济南大学和山东师大等校有关老师，都提出了不少 宝贵意见，我表示衷心的感谢！ 这次修订虽主观力求完善，但仍难免还有不妥之处，希望读 者多多指正 杨子胥 2003年6月于济南
据知, 有些高校只讲前四章, 其实这也是可以的, 因为这四 章可以说涵盖了近世代数最基本的内容 . 当然, 如果条件允许, 也可以简略介绍一下主理想整环和欧氏环以及第六章的前三节 . 对于习题, 一般而言, 每节选 3 至 5 个题做作业即可 . 而对 余下的题目, 特别是每章最后一节中的习题, 可让学有余力和考 研同学课下自行练习 . 我将编写《近世代数学习辅导与习题选解》(高等教育出版社 出版) , 几乎包含了本书所有习题的解答, 因此可作为高校师生 学习参考之用 . 但这里应提醒读者的是, 对任何题解都不可产生 太大的依赖性 . 这如同身体不适服药一样, 适当用药有益健康, 过量服用则有损肌体 . 正确的方法应该是, 对于一个题目要尽量 自己先动脑去想, 实在做不出时再参阅题解 . 这样用辅导书可能 效果会更好一些 . 在本书这次修订中, 山东大学张顺华教授、陕西师大雷天德 教授、潍坊学院王新民教授、解放军信息工程大学马传贵教授以 及曲阜师大、济南大学和山东师大等校有关老师, 都提出了不少 宝贵意见, 我表示衷心的感谢 ! 这次修订虽主观力求完善, 但仍难免还有不妥之处, 希望读 者多多指正 . 杨子胥 2003 年 6 月于济南 Ⅱ 第二版前言
前 言 本书是作者在长期教学实践的基础上，参考国内外大量相关 教材、专著、文献并吸纳个人一些科研成果，编写而成， 全书共六章，可大致分为三个部分 第一部分，包括引言和第一章基本概念，它是全书的基础， 在以后各章都要用到，应予以充分重视； 第二部分，包括第二、三两章，介绍含一个代数运算的群的 理论·其中第二章介绍群的最基本的知识；第三章则进一步介绍 正规子群和群的同态与同构，以及和它们相关联的群论中最基本 最重要的定理，如群的同态和同构定理，共轭、正规化子和中心 化子，Sylow定理和有限交换群基本定理等等； 第三部分，包括第四、五、六三章，介绍含有两个代数运算 的环与域的理论，其中第四章介绍环的基本知识；第五章介绍环 论中一个特殊问题一惟一分解整环内的因子分解理论，并由此 介绍了两种特殊的环类，即主理想整环和欧氏环；第六章介绍 域，一种加强条件的环，并且主要介绍代数扩域，特别是有限次 扩域和有限域 本书取材广泛，有的高校若教学时间不够，有些内容，例如 多项式环、环的直和、非交换环、惟一分解整环的多项式扩张、 可离扩域或其它内容，可粗讲或不讲，或只详述结论而略去证 明·本书每节都配备有习题，其题量和难度比较适中，个别稍难
前 言 本书是作者在长期教学实践的基础上, 参考国内外大量相关 教材、专著、文献并吸纳个人一些科研成果, 编写而成 . 全书共六章, 可大致分为三个部分: 第一部分, 包括引言和第一章基本概念, 它是全书的基础, 在以后各章都要用到, 应予以充分重视; 第二部分, 包括第二、三两章, 介绍含一个代数运算的群的 理论 . 其中第二章介绍群的最基本的知识; 第三章则进一步介绍 正规子群和群的同态与同构, 以及和它们相关联的群论中最基本 最重要的定理, 如群的同态和同构定理, 共轭、正规化子和中心 化子, Sylow 定理和有限交换群基本定理等等; 第三部分, 包括第四、五、六三章, 介绍含有两个代数运算 的环与域的理论 . 其中第四章介绍环的基本知识; 第五章介绍环 论中一个特殊问题———惟一分解整环内的因子分解理论, 并由此 介绍了两种特殊的环类, 即主理想整环和欧氏环; 第六章介绍 域, 一种加强条件的环, 并且主要介绍代数扩域, 特别是有限次 扩域和有限域 . 本书取材广泛, 有的高校若教学时间不够, 有些内容, 例如 多项式环、环的直和、非交换环、惟一分解整环的多项式扩张、 可离扩域或其它内容, 可粗讲或不讲, 或只详述结论而略去证 明 . 本书每节都配备有习题, 其题量和难度比较适中, 个别稍难
Ⅱ 前言 题目都有提示，各校可根据不同情况择题而作 本书承蒙我国数学家、中科院院士万哲先研究员和我国数学 家、中科院院士王梓坤教授推荐出版，并承蒙我国数学家、北京 师范大学博士生导师刘绍学教授撰写序言，作者由衷地对他们表 示最诚挚的感谢！ 作者才疏学浅，书中错误和疏漏之处恐在所难免，恳请读者 批评指正· 作者 1999年5月
题目都有提示, 各校可根据不同情况择题而作 . 本书承蒙我国数学家、中科院院士万哲先研究员和我国数学 家、中科院院士王梓坤教授推荐出版, 并承蒙我国数学家、北京 师范大学博士生导师刘绍学教授撰写序言, 作者由衷地对他们表 示最诚挚的感谢 ! 作者才疏学浅, 书中错误和疏漏之处恐在所难免, 恳请读者 批评指正 . 作 者 1999 年 5 月 Ⅱ 前 言
目 录 引言… …1 第一章基本概念……3 §1集合… … 3 S2映射与变换…5 §3代数运算…12 S4运算律…15 §5同态与同构 20 §6等价关系与集合的分类… 24 第二章群…30 §1群的定义和初步性质… §2群中元素的阶 §3子群… §4循环群…50 §5变换群… §6置换群…61 S7陪集、指数和Lagrange定理… 70 第三章正规子群和群的同态与同构……81 §1群同态与同构的简单性质…… 81 §2正规子群和商群…86 §3群同态基本定理……95
目 录 引言 ………………………………………………………………………… 1 第一章 基本概念 ……………………………………………………… 3 §1 集合………………………………………………………………… 3 §2 映射与变换 ……………………………………………………… 5 §3 代数运算 ………………………………………………………… 12 §4 运算律 …………………………………………………………… 15 §5 同态与同构……………………………………………………… 20 §6 等价关系与集合的分类 ……………………………………… 24 第二章 群 ……………………………………………………………… 30 §1 群的定义和初步性质 ………………………………………… 31 §2 群中元素的阶 ………………………………………………… 39 §3 子群 ……………………………………………………………… 45 §4 循环群 …………………………………………………………… 50 §5 变换群 …………………………………………………………… 56 §6 置换群 …………………………………………………………… 61 §7 陪集、指数和 Lagrange 定理 ……………………………… 70 第三章 正规子群和群的同态与同构 ……………………………… 81 §1 群同态与同构的简单性质 …………………………………… 81 §2 正规子群和商群 ……………………………………………… 86 §3 群同态基本定理 ……………………………………………… 95
目录 S4群的同构定理…101 §5群的自同构群…105 §6共轭关系与正规化子…111 §7群的直积… 118 *§8Syl0W定理…126 *§9有限交换群…135 第四章环与域…147 §1环的定义…147 §2环的零因子和特征……156 S3除环和域…165 §4环的同态与同构… 170 §5模n剩余类环……175 §6理想… 181 §7商环与环同态基本定理…190 §8素理想和极大理想 194 §9环与域上的多项式环…200 *§10分式域…205 *S11环的直和……209 *§12非交换环…218 第五章惟一分解整环 …225 §1相伴元和不可约元……225 §2惟一分解整环定义和性质 230 S3主理想整环…235 §4欧氏环 239 *§5惟一分解整环的多项式扩张……241 第六章域的扩张……248 §1扩域和素域…248 §2单扩域…253 §3代数扩域 …258
§4 群的同构定理 ………………………………………………… 101 §5 群的自同构群 ………………………………………………… 105 §6 共轭关系与正规化子 ……………………………………… 111 *§7 群的直积 ……………………………………………………… 118 *§8 Sylow 定理 …………………………………………………… 126 *§9 有限交换群 …………………………………………………… 135 第四章 环与域 ………………………………………………………… 147 §1 环的定义 ……………………………………………………… 147 §2 环的零因子和特征…………………………………………… 156 §3 除环和域 ……………………………………………………… 165 §4 环的同态与同构 ……………………………………………… 170 §5 模 n 剩余类环 ………………………………………………… 175 §6 理想……………………………………………………………… 181 §7 商环与环同态基本定理 …………………………………… 190 §8 素理想和极大理想…………………………………………… 194 §9 环与域上的多项式环 ……………………………………… 200 *§10 分式域 ………………………………………………………… 205 *§11 环的直和 ……………………………………………………… 209 *§12 非交换环 ……………………………………………………… 218 第五章 惟一分解整环 ……………………………………………… 225 §1 相伴元和不可约元…………………………………………… 225 §2 惟一分解整环定义和性质 ………………………………… 230 §3 主理想整环 …………………………………………………… 235 §4 欧氏环 ………………………………………………………… 239 *§5 惟一分解整环的多项式扩张 ……………………………… 241 第六章 域的扩张……………………………………………………… 248 §1 扩域和素域 …………………………………………………… 248 §2 单扩域 ………………………………………………………… 253 §3 代数扩域 ……………………………………………………… 258 Ⅱ 目 录
目录 Ⅲ §4多项式的分裂域…265 S5有限城…270 *§6可离扩域…276 本书所用符号…288 名词索]引…290 参考文献…295
§4 多项式的分裂域 ……………………………………………… 265 §5 有限域 ………………………………………………………… 270 *§6 可离扩域 ……………………………………………………… 276 本书所用符号 …………………………………………………………… 288 名词索引 ………………………………………………………………… 290 参考文献 ………………………………………………………………… 295 目 录 Ⅲ