IDIAN UNIVE 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月10日星期三
2014年12月10日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐
上讲回顾 冬第9讲矩阵函数的求解 ·矩阵函数的计算 ·利用Jordan标准形求矩阵函数 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第9讲 矩阵函数的求解 矩阵函数的计算 利用Jordan标准形求矩阵函数
矩阵函数的计算 Hamilton-Cayley定理 ·n阶矩阵A是其特征多项式的零点 ·即令p(2)=det(2I-A)=2”+c,2-++cn-1+cn ·则有p(A)=A”+C,A"-1+…+Cn-1A+CnI=0 冬零化多项式 ·对于多项式f(),若fA)=0 ·则称f(z)为A的零化多项式 冬方阵A的特征多项式为A的零化多项式 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 矩阵函数的计算 Hamilton-Cayley定理 n阶矩阵A是其特征多项式的零点 • 即令 • 则有 零化多项式 对于多项式 f (z)，若f (A)=0 则称f (z)为A的零化多项式 方阵A的特征多项式为A的零化多项式 1 1 1 ( ) det( ) n n n n IA c c c 1 1 1 () 0 n n A A cA c A cI n n
利用Jordan标准形求矩阵函数 矩阵函数的求法（步骤） ·求出A的Jordan标准形J及变换矩阵PP-AP=J ·对于的各Jordan块J求出f孔J分 ·即计算出f2,f'(2,),fm-(2,) ·按照顺序构成几J) f(J)= )(a) m.xm ·合成f) ■ 矩阵乘积给出 f(A)=Pf(J)P- lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 利用Jordan标准形求矩阵函数 矩阵函数的求法（步骤） 求出A的Jordan标准形J及变换矩阵P 对于的各Jordan块 Ji 求出 f(Ji) • 即计算出 • 按照顺序构成 f(Ji) 合成 f(J) 矩阵乘积给出 1 P AP J 1 ( ), ( ),......., ( ) mi ii i ff f 1 1 1 () () ( ) ( ) ( ) 2! 1 ! i i i i i i i i i m f f f f f J m m m 1 f A Pf J P () ()
第10讲矩阵函数及其微积分 冬矩阵函数的另外一种计算方法 ·利用零化多项式计算矩阵函数 冬矩阵微分方程 ·矩阵的微分和积分 ·一阶线性齐次常系数微分方程组 ·一阶线性非齐次常系数微分方程组 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论→
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 第10讲 矩阵函数及其微积分 矩阵函数的另外一种计算方法 利用零化多项式计算矩阵函数 矩阵微分方程 矩阵的微分和积分 一阶线性齐次常系数微分方程组 一阶线性非齐次常系数微分方程组
利用零化多项式求解矩阵函数 利用Jordan标准形求解矩阵函数的方法比 较复杂 冬根据零化多项式求解矩阵函数 [定律] ■阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第 n个（也就是最后一个)不变因子d(λ) 。可参见张远达《线性代数原理》P25 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论一
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 利用零化多项式求解矩阵函数 利用Jordan标准形求解矩阵函数的方法比 较复杂 根据零化多项式求解矩阵函数 [定律] n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第 n个（也就是最后一个）不变因子dn(λ) • 可参见张远达《线性代数原理》P215
利用零化多项式求解矩阵函数 设阶方阵的不变因子反向依次为 dn(2),dn-1(2),…,d1(2) ·由它们给出的初等因子分别为 3=力 (-1)™，(2-)™，…，(-，)"；(2-1)m“,…,(元-) ▣由于d(2)川d2(2),d2(2)川d3(2),…,dn-1(2)川dn(2) 1°1~入，必定出现在1~元，中： 2若2，(i>r)=,(≤r)则m,≤m lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 利用零化多项式求解矩阵函数 设阶方阵的不变因子反向依次为 由它们给出的初等因子分别为 由于 1 1 ( ), ( ), , ( ) n n dd d 1 s i i m n 1 22 3 1 ( ) | ( ), ( ) | ( ), , ( ) | ( ) n n d dd d d d
利用零化多项式求解矩阵函数 根据上述定理，A的最小多项式 9()=(2-)m(2-22)m…(2-2)m 令m=∑m(亿1-A"(亿，I-A)m…(几，1-)"=0 A"可以由A=I,A,A2,…,Am-1线性表示 Am+(i>0)亦可由A=I,A,A2,,Am-1线性表示 ·矩阵函数孔4)若存在，必定可由A°~A"-线性表示 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 利用零化多项式求解矩阵函数 根据上述定理，A的最小多项式 矩阵函数f(A)若存在， 1 2 0 12 () ( )( ) ( ) mm mr r 1 2 1 2 ( )( ) ( ) mm mr r IA IA IA O
利用零化多项式求解矩阵函数 ·定义一个系数待定的(m-1)次多项式g(2)=∑c,2 =0 ·适当选择系数c~cm-1,就可以使孔4)=g4) ·假设J、P为A的Jordan标准形及相应变换矩阵 f(A)=Pf(J)P- →f(U)=g(U)→f(U)=g(J) 8(A)=Pg(J)P-1 f(y)=g(f'()=g'(%,fm,-()=gm-()(i=1,2,…,r) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 利用零化多项式求解矩阵函数 定义一个系数待定的(m-1)次多项式 假设J、P为A的Jordan标准形及相应变换矩阵
利用零化多项式求解矩阵函数 ·由于g(入)为待定系数的多项式 ·上述讨论成为关于其系数的线性方程组 ·且方程个数等于未知数个数m=∑m ·可以确定C~Cm-l lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10
lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 利用零化多项式求解矩阵函数 由于g(λ)为待定系数的多项式 上述讨论成为关于其系数的线性方程组 且方程个数等于未知数个数 可以确定 1 r i i m m 0 1 ~ m c c