西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）08 矩阵函数的求解

UNIVE 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月10日星期三

2014年12月10日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐

上讲回顾 第8讲Jordan标准形应用 ·Jordan标准形的幂及多项式 ·矩阵序列 ·矩阵级数 ·方阵的幂级数 ·矩阵函数 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第8讲 Jordan标准形应用  Jordan标准形的幂及多项式  矩阵序列  矩阵级数  方阵的幂级数  矩阵函数

Jordan标准形的幂及多项式 冬Jordan标准形的幂 J 亦为类似上三 J 角形条带矩阵 •在与主对角线 平行的斜线上各 元素相等 「 22 1 0 2 2 1 J= 2 21 0 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu @mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 Jordan标准形的幂及多项式 Jordan标准形的幂                k s k k k J J J J  2 1              i i i Ji    0 1 1 0                        2 2 2 2 2 2 0 2 1 2 2 1 2 1 0 i i i i i i i i i Ji             •ji k亦为类似上三 角形条带矩阵 •在与主对角线 平行的斜线上各 元素相等 t t Ck i 

Jordan标准形的幂及多项式 Jordan标准形多项式 f(x)-agx-d+ajx+..+am" -0 1 0 0 22: 1 0 2 fJ,)=a -a +a +。 1 22 10 0 0 f)f'(2) 1 (0m:-1): 1 f(A) f'(a) fm-2() (m,-2)! f'() f(A) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 Jordan标准形的幂及多项式 Jordan标准形多项式 0 1 0 ( ) ... m k m k m k f x ax a ax a x      

矩阵序列 冬矩阵序列 ▣定义 ·设有矩阵序列{4}.其中4=(a） .且当k→o时)→a ·称{4}收敛 ·把A=(a)叫做{A}的极限 或称{4}收敛于A IimA)=A或A)→A k->oc k→0 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 矩阵序列 矩阵序列  定义 • • • • •

矩阵序列 冬收敛矩阵的定义 ·设A为方阵 .若当kx时A→0<>2，<1 ·称A为收敛矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论一

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 矩阵序列 收敛矩阵的定义   

矩阵级数 必定义 ·矩阵序列{4}的无穷和4四+4+…++… 4 记为 k=1 矩阵级数 ·部分和S-2种 ■若矩阵序列{S收敛，且有极限S,则称该矩阵 级数收敛，且有和S,记为S=∑A ·不收敛的矩阵级数称为是发散的 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论雪

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 矩阵级数 定义   部分和  若矩阵序列{S(N)}收敛,且有极限S, 则称该矩阵 级数收敛,且有和S，记为   矩阵级数  1 ( ) k k A 记为 ( ) () 1 N N k k S A   

方阵的幂级数 冬定义 ·A为方阵 ·∑4，(4°=D称为1的幂级数 =0 ·∑A称为A的Neumann级数 [定理]Neumann级数收敛的充要条件是 -A为收敛矩阵 -且在收敛时其和为(I-A)1 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 方阵的幂级数 定义  A为方阵   称为A的Neumann级数 • [定理] Neumann级数收敛的充要条件是 – A为收敛矩阵 – 且在收敛时其和为 (I - A)-1

方阵的幂级数 必收敛圆 e)- ·若矩阵A的特征值全部落在幂级数的收敛圆内 则矩阵幂级数是绝对收敛的A)=∑c4,(4P=I ·反之，若A存在落在的收敛圆(z)外的特征值，则 A)是发散的 必[推论创 ·若幂级数在整个复平面上收敛，则对任何的方阵 A,(A)均收敛 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 方阵的幂级数 收敛圆  若矩阵A的特征值全部落在幂级数的收敛圆内  则矩阵幂级数是绝对收敛的  反之, 若A存在落在的收敛圆φ(z)外的特征值, 则 φ(A)是发散的 [推论]  若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵 A, φ(A)均收敛 0 ( ) k k k  z c z     0 0 ( ) ,( ) k k k  A cA A I     

矩阵函数 定义 ·以矩阵为自变量的“函数”（实际上是“函矩阵”） A si血(40=分_-1) (2n+1):1 os(A0=月-1 (2n)H lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论● 。。··。。。10

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 矩阵函数 定义  以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”)