西安电子科枝大学 电子工程学院《D School of Electronic Engineering.Xidian University http://see .xidian.edu.cn n.edu.cr 场论与复变函数 xuamail.x 主讲：徐乐 2011年12月25日星期日
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Review 若fG在z解析，为函数a的m级零点的充要条件， 孤立奇点 ·f0=0,(0m-0,1,2.,m-10 fom(o)0 奇点类型 洛朗级数 lim f(z) 零点极点 可去奇点 f()0 存在且 0 有限：co f(=(-)g() M级极，点 f(z)= 00 若，为函数1fc)的m级零点， 则o为函数fc)的m级极点 本性奇点 fa)= Zac-ay 不存在且 8=0 不为0 lexu@mail.xidian.edu.cn
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Review 若函数fz)在无穷远点zoo的去心领域R<z<+∞内 解析，则称点o为z)的孤立奇点 ·作变换t=1/z ·将去心领域R<z<+o内对函数的研究化为在去心领域 0<K1/R内对函数p(①的研究 ■显然（①）在去心领域0<≤1R解析，=0为函数()的孤立奇点 ·若t=0是p(O的可去奇点、m级极点或本性奇点，则称 点z=o是2)的可去奇点、m级极点或本性奇点 lexu@mail.xidian.edu.cn
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Review ■若级数在无穷远点展开的洛朗级数 ·不含正幂项 edu. ·含有限多正幂项，且"为最高正幂 ·含无限多正幂项 ■则z=oo是f(z ·可去奇点 存在且有限 ■此时可认为f(a)在o解析，取f(o)=limf(z) ·m级极点 00 ·本性奇点 不存在且不为∞ ■ 同样通过孤立奇点的极限亦可判断其分类limf(z) lexu@mail.xidian.edu.cn
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第20讲留数 留数及留数定理 留数计算 在无穷远点的留数 xidian.edu.cn lexu@m用 留数在定积分中的应用(I) lexu@mail.xidian.edu.cn 5
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留数及留数定理 f(5)ds=? ■回顾柯西古萨基本定理 ·函数在区域D内解析，C为区域D内任意一条简单闭曲 线，则 ∮f)d5=01 ■回顾洛朗级数的在积分中的应用 ·若z为函数在区域D内的一个奇点，C为z,去心邻域内 任意一条简单闭曲线，则∮。f(G)d码=2πc ·若函数在区域D内除在点2o,21,,,外的处处解析， C为z去心邻域内任意一条简单闭曲线，则 jf(5)6=? lexu@mail.xidian.edu.cn
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留数及留数定理 2m,n=0 ■留数定义： 0 ,n≠0 ·若zo为函数f()的一个孤立奇点 。 C为z的某个去心邻域0小z0R内包含z的任意一条 正向简单闭曲线 ·将函数在该去心邻域内展开成洛朗级数 f(a)=+c,(3-2)”+C(2-厂+C+c(2-o)++c.(3-”+ .对上式两端同时沿C作积分，则①.f(5)d5=2ic1 ·该留下的积分值除以2π后得到的数称为f(z)在z的留数， 记作Reslf,l 。 显然有 Resf(2)= Φf(z)d=c1 2πi lexu@mail.xidian.edu.cn
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留数及留数定理 留数定理 。设函数f(2)在区域D内除有限个孤立奇点zo,27,…, z外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭 曲线，则 ∮fa)k2m2 Res[f()z,】 e=1 lexu@mail.xidian.edu.cn
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留数及留数定理 ·[证明]欲求积分∮f(a)远 edu. ■把C内的所有奇点2o,21 向简单闭曲线C包围起来 ,用互不包含的正 ■由复合闭路定理可知 pfa)=】 ■由留数的定义可知∮。f(a)证=2πi01=2mRes[/(22] ,因此可得本fe)正=2m2Re/a】 即证 lexu@mail.xidian.edu.cn
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留数及留数定理 Notel: 留数定理将封闭曲线C的积分转化成z) 在C中各孤立奇点处的留数计算 ■Note2:如何有效求出f(z)在孤立奇点处的留数？ 。 可去奇点：留数为零© 本性奇点：把函数展开成为洛朗级数求得1，即留数 极点：根据极点的性质采用不同的规则简化留数计算 lexu lexu@mail.xidian.edu.cn 10
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