场论与复变函数 复变函数篇 主讲：徐乐
场论与复变函数 复变函数篇 主讲：徐乐
复数概论 复数 复数的表示 冬复数的运算 冬复球面 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 复数概论 复数 复数的表示 复数的运算 复球面
复数的表示 冬以几何语言和方法来研究复变函数可使其能够广 泛应用于实际 冬复数z与平面向量 z=x+yi=0 Px,y以 =vx2+y2 2 x≤z,yz zx+y 辐角 Argz=O+2kπ tg(Argz) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 3
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 复数的表示 以几何语言和方法来研究复变函数可使其能够广 泛应用于实际 复数z与平面向量 2 2 | | zr x y = = + x y P(x,y) O x zy z ≤ ≤ | |, | | | || | | | zx y ≤ + ( ) y tg Argz x 辐角 = 1 Argz k = + θ π 2 z x yi =+ = 0 i = −1
复数的表示 辐角主值的计算 π y.π =arg 0,y∈R x π x=0,y≠0 a82= 2 x<0,y≠0 arc tg y土T X π x<0,y=0 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 4
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 复数的表示 辐角主值的计算 argz = x y O x yR > ∈ 0, x y = ≠ 0, 0 x y < ≠ 0, 0 x y < = 0, 0 2 2 y arc tg x π π −< < 2 y arc tg x y arc tg x π π π ± ± 0 θ = argz
复数的表示 冬复数的三角表示 z=r(cosθ+isin0) 复数的指数表示 2=reio 冬欧拉公式 -e0 十e0 sin=- =cos0+isine CoS0=. 2i 2 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 复数的表示 复数的三角表示 复数的指数表示 欧拉公式 zr i = + (cos sin ) θ θ i z re θ = cos sin i e i θ = + θ θ cos 2 i i e e θ θ θ − + sin = 2i i i e e θ θ θ − − =
复球面 冬复数亦可用复球面上 的点来表示 ·S称为南极 D ·称为北极，对应于无 穷远点 ■包括无穷远点在内的复 平面称为扩充复平面 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 6
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 复数亦可用复球面上 的点来表示 S称为南极 N称为北极，对应于无 穷远点 包括无穷远点在内的复 平面称为扩充复平面 复球面 x y N O S P
复数的运算 冬复数的代数运算 "复数的和差运算 (a,+ib)±(a2+ib2) =(a±a2)+i(b±b2) ■复数的积商运算 二12 312=ie95e%=55e0+8) 22 31/32=ie9/5e8=5/5e(8-8) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 复数的运算 复数的代数运算 复数的和差运算 11 2 2 1 2 12 ( )( ) ( )( ) a ib a ib a a ib b +±+ =±+ ± 1 2 z + z 1 2 z − z 2 − z y x 0 2 z 1z 复数的积商运算 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 2 12 ii i z z re re rre θ θ θθ+ = = 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 2 12 /// ii i z z re re r re θ θ θ θ− = = y x 0 2 z 1z 1 2 z z
复数的运算 复数共轭 z=x+yi Z=x-yi 2=relo 7=re-i0 0 +2=+3,3=, 22 2 =[Re(=)+[Im(=)2= 豆=2 +=2Re(2),-=2iIm(z) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 8
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 复数的运算 复数共轭 z x yi = + z x yi = − y x 0 z z i z re θ = i z re− θ = 1 1 1 2 1 2 12 12 2 2 , , z z z z z z zz zz z z + =+ = = z z = 2 22 zz z z z =+= [Re( )] [Im( )] | | z z zz z i z += −= 2Re( ), 2 Im( )
复数的运算 冬复数的乘幂 ■n个相同复数的乘积称为z的n次幂，记作 2"=r"e"=r"(cosne+isin ne) cos0+isin0)"cosn+isin ne 棣莫弗公式 00090pp000p90099 必复数的方根 z=w" ·0,则有n个不同的w值与之对应 w==(cos 8+2kπ 0+2kπ 0+2kπ +isin )=r"e n lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 复数的运算 复数的乘幂 n个相同复数的乘积称为z的n次幂，记作 (cos sin ) n n in n z re r n i n θ = = + θ θ (cos sin ) cos sin n θθ θ θ + =+ i nin 棣莫弗公式 复数的方根 z≠0 ，则有n个不同的w值与之对应 n z w= 1 1 2 2 2 (cos sin ) n n k i n n k k w z r i r e n n θ π θπ θπ + + + == + =
第8讲复变函数 简单曲线的复数表示 冬区域 冬复变函数 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 第8讲 复变函数 简单曲线的复数表示 区域 复变函数